对于dd大牛《背包九讲》的总结——第一讲01背包以及其优化
背包哪九讲?
1.01背包问题——每件物品选或者不选
2.完全背包问题——每件物品可以选无限次,爱选多少次选多少次,只要背包容量够用
3.多重背包问题——每个物品选的次数上限不同且有限制
4.混合背包问题——物品很多种,每种物品的信息不同
5.二维费用背包问题——普通的背包问题可能只有重量限制,而二维可能是重量+体积限制
6.分组背包问题——各种问题分成若干组,每组只能选一件,组内物品相互排斥
7.背包问题求方案数
8.求背包问题方案
9.有依赖的背包问题
第一讲:01背包问题
题目:有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
基本思路:01背包问题的特点就是,每种物品仅有一件,可以选择放或者不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。
基本上所有和背包相关的问题的方程都由它衍生出来。这个状态转移方程的具体含义大概就是:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品放或不放,那么就可以转化为一个只牵扯第i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”;如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
代码如下:
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int MAX=1010; int N,V; int f[MAX][MAX]; int c[MAX],w[MAX]; //费用和价值 int main() { cin>>N>>V; for(int i=1;i<=N;i++) cin>>c[i]>>w[i]; for(int i=1;i<=N;i++) for(int v=0;v<=V;v++) { f[i][v]=f[i-1][v]; if(v>=c[i]) f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]); } int res=0; for(int i=0;i<=V;i++)//f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值 res=max(res,f [i]); cout<<res<<endl; }
下面我们对空间复杂度进行优化,从上面的代码可以看到i从1到N,每次算出了二维数组f[i][0…V]的所有值。那么如果用一个数组f[0…V],可否保证第i次循环结束后f[v]中表示的状态就是我们定义的f[i][v]呢?我们知道,我们的f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的两个子问题递推而来的,事实上要求,在每次主循环中我们要求如下伪代码的顺序才能保证f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题推来的。(自己体会)
for i=1…N
for v=V…0
f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);
优化后代码如下:
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int MAX=1010; int N,V; int f[MAX]; int c[MAX],w[MAX]; //费用和价值 int main() { cin>>N>>V; for(int i=1;i<=N;i++) cin>>c[i]>>w[i]; for(int i=1;i<=N;i++) for(int v=V;v>=c[i];v--) f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);//若v<c[i]时,f[v]=f[v]没必要写出来 cout<<f[V]<<endl;//为什么直接输出f[v]不用找最大的,看下面的初始化说明 }
初始化的细节问题:
我们看到的求最优解的背包问题题目中,有两种不一样的问法,有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则是没有要求必须把背包装备。一种区分这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是恰好把背包装满:那么在初始化时除了f[0]=0,其他的f[1…V]均设为负无穷,这样就可以保证f[V]是一种恰好装满背包的情况下最大价值是多少。
如果并没有要求必须把背包装满,而是希望价格尽量大:那么初始化时就应该把f[0…V]全部设为0,这样f[V]是体积小于等于V的情况下最大价值是多少。
为什么呢?可以这么理解:初始化的数组实际上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的“没有任何东西”,正好“装满”,其他容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就应该是负无穷,如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个价值为0的“没有任何东西”,正好“装满”,所以初始时状态的值也就全部为0了。
另外:全局变量被定义在堆里,堆里初始化都为0。而局部变量被声明的时候其值是不可预料的。
HDU2545:https://www.geek-share.com/detail/2762947992.html
HDU2602:https://www.geek-share.com/detail/2762959802.html
HDU3346:https://www.geek-share.com/detail/2762958768.html
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