利用MATLAB进行二次曲线方程的正交变换化简

我们知道平面上二次曲线的一般方程是：
a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0，（1） a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_{0}= 0， （1） a11​x2+2a12​xy+a22​y2+2a1​x+2a2​y+a0​=0，（1）
其中a11,a12,a22a_{11},a_{12},a_{22}a11​,a12​,a22​不全为零。
我们常用的一个方法是先利用转轴变换，坐标旋转角则可用以下公式得到：
cot(2θ)=a11−a22a12，（2）cot(2\theta)=\frac{a_{11}-a_{22}}{a_{12}} ， （2）cot(2θ)=a12​a11​−a22​​，（2）
但是之后的过程略显复杂，故本文采用不变量的方法来对二次曲线方程进行化简，并将结合MATLAB进行实现。

1.数学原理

二次曲线的不变量和半不变量为：
I1=a11+a22，（3） I_{1}=a_{11}+a_{22}，（3） I1​=a11​+a22​，（3）
I2=∣a11a12a12a22∣，（4） I_{2}=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|，（4） I2​=∣∣∣∣​a11​a12​​a12​a22​​∣∣∣∣​，（4）
I3=∣a11a12a1a12a22a2a1a2a0∣，（5） I_{3}=\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{1}\\ a_{12}&a_{22}&a_{2}\\ a_{1}&a_{2}&a_{0}\\ \end{matrix} \right|，（5） I3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a12​a1​​a12​a22​a2​​a1​a2​a0​​∣∣∣∣∣∣​，（5）
K1=∣a11a1a1a0∣+∣a22a2a2a0∣，（6） K_{1}=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0} \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0} \\ \end{matrix} \right|，（6） K1​=∣∣∣∣​a11​a1​​a1​a0​​∣∣∣∣​+∣∣∣∣​a22​a2​​a2​a0​​∣∣∣∣​，（6）
可以由不变量和半不变量就能完全确定二次曲线的类型和形状，即为二次曲线的化简式，如下表【1】所示：

【表1】 二次曲线的不变量与曲线的类型和形状的关系

2.代码实现

MATLAB 中可以提取方程左端展开后的多项式的系数，在由系数计算不变量和半不变量，对比【表1】得到二次曲线方程的化简后方程，代码如下：

在运行时输入二次曲线方程 f(x,y) = 0 的左端，运行结果示例如下图所示：

代码文件可以在下面链接中下载：
https://download.csdn.net/download/m0_43484109/10861992