2016 ACM/ICPC亚洲区青岛站现场赛（部分题解）
2018-10-27 19:51
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摘要
本文主要列举并求解了2016 ACM/ICPC亚洲区青岛站现场赛的部分真题，着重介绍了各个题目的解题思路，结合详细的AC代码，意在熟悉青岛赛区的出题策略，以备战2018青岛站现场赛。
题意
给出一根棒子（可以吃的）的长度x和切割过程中不能小于的长度d，每次随机的选取一个位置切开，吃掉左边的一半，对右边的棒子同样操作，直至剩余的长度不大于d时停止。现在给出x和d，问切割次数的数学期望是多少。
解题思路
当看到第二个样例2 1时，结果是1.693147，联想到ln(2) = 0.693147，可猜测当x > d时，答案是ln(x/d) + 1。
详细解法：
设长度为x、限制长度是d的棒切割次数的数学期望是f(x)，首先当x < d时，f(x) = 0（直接结束，切割次数为0）；当x >= d时，f(x) 应该是任选一点后，右边部分切割次数的数学期望加上1。设t是切割的位置，即
，其中后面的式子表示切割点t的数学期望（积分0到x，取到这一点的概率乘上t的概率密度,也就是长度为t的切割次数的数学期望），进而又可以写成
（积分中，系数可以自由进出），也即将f(x)写成如下形式
由此可得f(x) = ln(x) + c，当x = d时，f(d) = ln(d) + c = 1得，c = 1 - ln(d)，代入f(x) = ln(x) - ln(d) + 1，也即f(x) = ln(x/d) + 1;
综上所述
代码如下：
其中涉及C语言中对数的表示方法，C中只定义两log(double x)和log10(double x)，分别表示数学中的ln和lg，至于如何表示loga(b)呢？使用换底公式log(b)/log(a)即可。
1 #include <cstdio>
2 #include <cmath>
3
4 int main()
5 {
6 double x, d;
7 int T;
8 scanf("%d", &T);
9 while(T--) {
10 scanf("%lf%lf", &x, &d);
11 if(x <= d)
12 printf("0.000000\n");
13 else
14 printf("%.6lf\n", log(x) - log(d) + 1);
15 }
16 return 0;
17 }
题意
输入一个二阶魔方的状态，问能否一步将其复原。
解题思路
需要细心和耐心，考虑每一种拧法，操作的时候，先顺时针改变一个面的数，然后改变四周的数，写出操作模板。要特别注意输入状态的次序，哪个面先，以及哪个角先。
代码如下：
1 #include <cstdio>
2
3 struct Magic2{
4 int f[5], b[5], u[5], d[5], l[5], r[5];
5 void get_u() {for(int i = 1 ; i <= 4; i++) {scanf("%d", &u[i]);}}
6 void get_d() {for(int i = 1 ; i <= 4; i++) {scanf("%d", &d[i]);}}
7 void get_f() {for(int i = 1 ; i <= 4; i++) {scanf("%d", &f[i]);}}
8 void get_b() {for(int i = 1 ; i <= 4; i++) {scanf("%d", &b[i]);}}
9 void get_l() {for(int i = 1 ; i <= 4; i++) {scanf("%d", &l[i]);}}
10 void get_r() {for(int i = 1 ; i <= 4; i++) {scanf("%d", &r[i]);}}
11 void L(int cnt) {
12 for(; cnt > 0; cnt--) {
13 int a[5];
14 for(int i = 1; i <= 4; i++) a[i] = l[i];
15 l[2] = a[1];l[1] = a[3];
16 l[3] = a[4];l[4] = a[2];
17
18 int x = b[3], y = b[1];
19 b[3] = d[3], b[1] = d[1];
20 d[3] = f[3], d[1] = f[1];
21 f[3] = u[3], f[1] = u[1];
22 u[3] = x, u[1] = y;
23 }
24 }
25 void R(int cnt) {
26 for(; cnt > 0; cnt--) {
27 int a[5];
28 for(int i = 1; i <= 4; i++) a[i] = r[i];
29 r[1] = a[3], r[2] = a[1];
30 r[3] = a[4], r[4] = a[2];
31
32 int x = b[2], y = b[4];
33 b[2] = u[2], b[4] = u[4];
34 u[2] = f[2], u[4] = f[4];
35 f[2] = d[2], f[4] = d[4];
36 d[2] = x, d[4] = y;
37 }
38 }
39 void U(int cnt) {
40 for(; cnt > 0; cnt--) {
41 int a[5];
42 for(int i = 1; i <= 4; i++) a[i] = u[i];
43 u[1] = a[3], u[2] = a[1];
44 u[3] = a[4], u[4] = a[2];
45
46 int x = b[3], y = b[4];
47 b[3] = l[4], b[4] = l[2];
48 l[4] = f[2], l[2] = f[1];
49 f[2] = r[1], f[1] = r[3];
50 r[1] = x, r[3] = y;
51 }
52 }
53 void D(int cnt) {
54 for(; cnt > 0; cnt--) {
55 int a[5];
56 for(int i = 1; i <= 4; i++) a[i] = d[i];
57 d[2] = a[1], d[1] = a[3];
58 d[4] = a[2], d[3] = a[4];
59
60 int x = b[1], y = b[2];
61 b[1] = r[4], b[2] = r[2];
62 r[4] = f[3], r[2] = f[4];
63 f[3] = l[1], f[4] = l[3];
64 l[1] = x, l[3] = y;
65 }
66 }
67 void F(int cnt) {
68 for(; cnt > 0; cnt--) {
69 int a[5];
70 for(int i = 1; i <= 4; i++) a[i] = f[i];
71 f[1] = a[3], f[2] = a[1];
72 f[3] = a[4], f[4] = a[2];
73
74 int x = u[3], y = u[4];
75 u[3] = l[3], u[4] = l[4];
76 l[3] = d[1], l[4] = d[2];
77 d[1] = r[3], d[2] = r[4];
78 r[3] = x, r[4] = y;
79 }
80 }
81 void B(int cnt) {
82 for(; cnt > 0; cnt--) {
83 int a[5];
84 for(int i = 1; i <= 4; i++) a[i] = u[i];
85 u[1] = a[3], u[3] = a[4];
86 u[2] = a[1], u[4] = a[2];
87
88 int x = u[1], y = u[2];
89 u[1] = r[1], u[2] = r[2];
90 r[1] = d[4], r[2] = d[3];
91 d[4] = l[1], d[3] = l[2];
92 l[1] = x, l[2] = y;
93 }
94 }
95 bool ok() {
96 for(int i = 2; i <= 4; i++) {
97 if(u[i] != u[1] || d[i] != d[1]
98 || l[i] != l[1] || r[i] != r[1]
99 || f[i] != f[1] || b[i] != b[1])
100 return 0;
101 }
102 return 1;
103 }
104 bool operate(char ch) {
105 if(ch == 'u') {
106 U(1);
107 if(ok())
108 return 1;
109 else {
110 U(3);
111 U(3);
112 if(ok())
113 return 1;
114 else{
115 U(1);
116 return 0;
117 }
118 }
119 }
120 if(ch == 'd') {
121 D(1);
122 if(ok())
123 return 1;
124 else{
125 D(3);
126 D(3);
127 if(ok())
128 return 1;
129 else{
130 D(1);
131 return 0;
132 }
133 }
134 }
135 if(ch == 'f') {
136 F(1);
137 if(ok())
138 return 1;
139 else{
140 F(3);
141 F(3);
142 if(ok())
143 return 1;
144 else{
145 F(1);
146 return 0;
147 }
148 }
149 }
150 if(ch == 'b') {
151 B(1);
152 if(ok())
153 return 1;
154 else{
155 B(3);
156 B(3);
157 if(ok())
158 return 1;
159 else{
160 B(1);
161 return 0;
162 }
163 }
164 }
165 if(ch == 'l') {
166 L(1);
167 if(ok())
168 return 1;
169 else{
170 L(3);
171 L(3);
172 if(ok())
173 return 1;
174 else{
175 L(1);
176 return 0;
177 }
178 }
179 }
180 if(ch == 'r') {
181 R(1);
182 if(ok())
183 return 1;
184 else{
185 R(3);
186 R(3);
187 if(ok())
188 return 1;
189 else{
190 R(1);
191 return 0;
192 }
193 }
194 }
195 }
196 void print() {
197 puts("###");
198 for(int i = 1; i <= 4; i++) printf("%d ", u[i]); puts("");
199 for(int i = 1; i <= 4; i++) printf("%d ", f[i]); puts("");
200 for(int i = 1; i <= 4; i++) printf("%d ", d[i]); puts("");
201 for(int i = 1; i <= 4; i++) printf("%d ", b[i]); puts("");
202 for(int i = 1; i <= 4; i++) printf("%d ", l[i]); puts("");
203 for(int i = 1; i <= 4; i++) printf("%d ", r[i]); puts("");
204 }
205 }m2;
206
207 int main()
208 {
209 int T;
210 scanf("%d", &T);
211 while(T--) {
212 m2.get_u();
213 m2.get_f();
214 m2.get_d();
215 m2.get_b();
216 m2.get_l();
217 m2.get_r();
218 if(m2.ok() || m2.operate('u') || m2.operate('d') || m2.operate('l')
219 || m2.operate('r') || m2.operate('f') || m2.operate('b'))
220 printf("YES\n");
221 else
222 printf("NO\n");
223 }
224 return 0;
225 }
题意
给出n个硬币和每个硬币的数量和正面朝上的概率，问每个硬币成为幸运硬币的概率是多少。成为幸运硬币的条件是每投一次将所有背面朝上的硬币去掉，继续抛掷，直至剩下一种或者一个都剩下，那最后一种留下的硬币就是幸运硬币。
解题思路
概率DP，我们定义dead[i][j]表示第i种硬币在前j步以内全部被抛弃的概率，显然
，
化简可得
.
那么我们定义aliv[i][j] 表示第i种硬币在前j步以内至少有一个没有被抛弃的概率是 1 - dead[i][j]，那么第i个硬币成为幸运硬币的概率大概等于（应为当k = 30的时候0.5的三十次方就很小）
，其实际意义就是第i种硬币成为幸运硬币的概率等于模拟投掷100次，而每次让第1到n种硬币在k步全部被抛弃的概率乘上第i种硬币在第k步至少还有一个而第k+1步全部被抛弃的概率，当然前面的第1到第n种硬币全部被抛弃不包括第i种硬币，故完整的式子是：
代码如下:
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <cmath>
4 #include <cstring>
5
6 using namespace std;
7
8 const int maxn = 15;
9 int n;
10 double num[maxn], p[maxn], ans[maxn];
11 double dead[maxn][110], alive[maxn][110];
12
13 void cdead() {
14 for(int k = 1; k <= 100; k++) {
15 for(int i = 0; i < n; i++) {
16 dead[i][k] = pow(1.0 - pow(p[i], k), num[i]);
17 }
18 }
19 }
20 void calive() {
21 for(int k = 1; k <= 100; k++) {
22 for(int i = 0; i < n; i++) {
23 alive[i][k] = 1.0 - dead[i][k];
24 }
25 }
26 }
27
28 int main()
29 {
30 int T;
31 scanf("%d", &T);
32 while(T--) {
33 scanf("%d", &n);
34 for(int i = 0; i < n; i++) {
35 scanf("%lf%lf", &num[i], &p[i]);
36 }
37 if(n == 1) {
38 printf("1.000000\n");
39 continue;
40 }
41
42 cdead();
43 calive();
44 memset(ans, 0, sizeof(ans));
45 for(int k = 1; k <= 100; k++) {
46 for(int i = 0; i < n; i++) {
47 double tmp = 1;
48 for(int j = 0; j < n; j++) {
49 if(j == i) continue;
50 tmp *= dead[j][k];
51 }
52 ans[i] += tmp * (alive[i][k] - alive[i][k + 1]);
53 }
54 }
55
56 for(int i = 0; i < n; i++) {
57 printf("%.6lf%c", ans[i], i == n - 1 ? '\n' : ' ');
58 }
59 }
60 return 0;
61 }
可以看出青岛站的题目还是有难度的，主要侧重的是数学推理，准备时应该多以数学推理为主，大战在即，加油！
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