树链剖分

 

树链剖分就是将树分割成多条链，然后利用数据结构（线段树、树状数组等）来维护这些链。

首先就是一些必须知道的概念：

• 重结点：子树结点数目最多的结点；
• 轻节点：父亲节点中除了重结点以外的结点；
• 重边：父亲结点和重结点连成的边；
• 轻边：父亲节点和轻节点连成的边；
• 重链：由多条重边连接而成的路径；
• 轻链：由多条轻边连接而成的路径；

比如上面这幅图中，用黑线连接的结点都是重结点，其余均是轻结点，2-11、1-11就是重链，其他就是轻链，用红点标记的就是该结点所在链的起点，也就是我们👇提到的top结点，还有每条边的值其实是进行dfs时的执行序号。

算法中定义了以下的数组用来存储上边提到的概念：

名称	解释
siz[u]	保存以u为根的子树节点个数
top[u]	保存当前节点所在链的顶端节点
son[u]	保存重儿子
dep[u]	保存结点u的深度值
faz[u]	保存结点u的父亲节点
tid[u]	保存树中每个节点剖分以后的新编号（DFS的执行顺序）
rnk[u]	保存当前节点在树中的位置

 

除此之外，还包括两种性质：

1. 如果(u, v)是一条轻边，那么size(v) < size(u)/2；
2. 从根结点到任意结点的路所经过的轻重链的个数必定都小与O(logn)；

 

首先定义以下数组：

           

const int MAXN = (100000 << 2) + 10;

​

//Heavy-light Decomposition STARTS FORM HERE

int siz[MAXN];//number of son

int top[MAXN];//top of the heavy link

int son[MAXN];//heavy son of the node

int dep[MAXN];//depth of the node

int faz[MAXN];//father of the node

int tid[MAXN];//ID -> DFSID

int rnk[MAXN];//DFSID -> ID

算法大致需要进行两次的DFS，第一次DFS可以得到当前节点的父亲结点（faz数组）、当前结点的深度值（dep数组）、当前结点的子结点数量（size数组）、当前结点的重结点（son数组）

void dfs1(int u, int father, int depth) {

   /*

    * u: 当前结点

    * father: 父亲结点

    * depth: 深度

    */

   // 更新dep、faz、siz数组

   dep[u] = depth;

   faz[u] = father;

   siz[u] = 1;

​

   // 遍历所有和当前结点连接的结点

   for (int i = head[u]; i; i = edg[i].next) {

       int v = edg[i].to;

       // 如果连接的结点是当前结点的父亲结点，则不处理

       if (v != faz[u]) {

           dfs1(v, u, depth + 1);

           // 收敛的时候将当前结点的siz加上子结点的siz

           siz[u] += siz[v];

           // 如果没有设置过重结点son或者子结点v的siz大于之前记录的重结点son，则进行更新

           if (son[u] == -1 || siz[v] > siz[son[u]]) {

               son[u] = v;

         }

      }

   }

}

第二次DFS的时候则可以将各个重结点连接成重链，轻节点连接成轻链，并且将重链（其实就是一段区间）用数据结构（一般是树状数组或线段树）

来进行维护，并且为每个节点进行编号，其实就是DFS在执行时的顺序（tid数组），以及当前节点所在链的起点（top数组），还有当前节点在树中

的位置（rank数组）。

void dfs2(int u, int t) {

   /**

    * u：当前结点

    * t：起始的重结点

    */

   top[u] = t;  // 设置当前结点的起点为t

   tid[u] = cnt;  // 设置当前结点的dfs执行序号

   rnk[cnt] = u;  // 设置dfs序号对应成当前结点

   cnt++;

​

   // 如果当前结点没有处在重链上，则不处理

   if (son[u] == -1) {

       return;

   }

   // 将这条重链上的所有的结点都设置成起始的重结点

   dfs2(son[u], t);

   // 遍历所有和当前结点连接的结点

   for (int i = head[u]; i; i = edg[i].next) {

       int v = edg[i].to;

       // 如果连接结点不是当前结点的重子结点并且也不是u的父亲结点，则将其的top设置成自己，进一步递归

       if (v != son[u] && v != faz[u]){

           dfs2(v, v);

      }

   }

}

而修改和查询操作原理是类似的，以查询操作为例，其实就是个LCA，不过这里使用了top来进行加速，因为top可以直接跳转到该重链的起始结点，

轻链没有起始结点之说，他们的top就是自己。需要注意的是，每次循环只能跳一次，并且让结点深的那个来跳到top的位置，避免两个一起跳从而插肩而过。

树链剖分模板：

//树链剖分
//query() update()数据结构的操作
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define mp make_pair
#define eps 1e-8
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
const int maxn=(100000<<2)+10;
int siz[maxn],top[maxn],son[maxn],dep[maxn];
int fa[maxn],tid[maxn],rnk[maxn],cnt;
int head[maxn],tot;

struct Node{
int to,nxt;
} edg[maxn<<2];

void addedge(int u,int v)
{
edg[tot].to=v;
edg[tot].nxt=head[u];
head[u]=tot++;
}

void dfs1(int u,int father,int depth) //处理出每个点的深度，重儿子，父亲节点以及以它为根的子节点的数量
{
dep[u]=depth;
fa[u]=father;
siz[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=edg[i].nxt)
{
int v=edg[i].to;
if(v!=fa[u])
{
dfs1(v,u,depth+1);
siz[u]+=siz[v];
if(son[u]==-1||siz[v]>siz[son[u]]) son[u]=v;
}
}
}

void dfs2(int u, int t) //getpos()
{
top[u]=t;
tid[u]=cnt; rnk[cnt]=u; //用于数据结构中位置的还原
cnt++;
if(son[u]==-1) return;
dfs2(son[u],t);
for(int i=head[u];i;i=edg[i].nxt)
{
int v=edg[i].to;
if(v!=son[u] && v!=fa[u]) dfs2(v,v);
}
}

int query_path(int x, int y) //查询结点x到结点y的路径和
{
int ans=0;
int fx=top[x],fy=top[y];
while(fx!=fy)
{
if(dep[fx]>=dep[fy]) ans+=query(1,tid[fx],tid[x]),x=fa[fx];
else ans+=query(1,tid[fy],tid[y]),y=fa[fy];
fx=top[x],fy=top[y];
}
if(x!=y)
{
if(tid[x]<tid[y]) ans+=query(1,tid[x],tid[y]);
else ans+=query(1,tid[y],tid[x]);
}
else ans+=query(1,tid[x],tid[y]);
return ans;
}

void update_path(int x,int y,int z) //更新结点x到结点y的值 +z
{
int fx=top[x],fy=top[y];
while(fx!=fy)
{
if(dep[fx]>dep[fy]) update(1,tid[fx],tid[x],z),x=fa[fx];
else update(1,tid[fy],tid[y],z),y=fa[fy];
fx=top[x],fy=top[y];
}
if(x!=y)
{
if(tid[x]<tid[y]) update(1,tid[x],tid[y],z);
else update(1,tid[y],tid[x],z);
}
else update(1,tid[x],tid[y],z);
}