数学【P2524】 Uim的情人节礼物·其之弐 (康托展开)

因为某人@ZAGER挖坑让我讲一下康托展开,所以发现了这个题,顺便说一下康托展开是个什么东西

题目概括

给定n与一个数列,要求求出给定数列在n的全排列中的排名(按照字典序从小到大排列)

康托展开

先放概念:

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。
--来源于度娘

双射的概念我也不是很理解

所以直接给出康托展开的作用:

康托展开的作用是求n个数的全排列中某一个序列在所有排列中的次序(该排列次序(亦称之为排名)以字典序从小到大排序)

还是不理解?

栗子：

求:在n=3的全排列中,{1,3,2}排第几位。

可以写出n=3的全排列 {1,2,3}，{1,3,2}，{2,1,3}，{2,3,1}，{3,1,2}，{3,2,1}

(在这里我们按照字典序从小到大排序)

所以容易看出{1,3,2} Rank 2

如果还是不理解请打开上面的'度娘'↑,里面有详细解释

康托展开的公式:

\[X=a
* [(n-1)!] +a[n-1]*[(n-2)!]+....+a[1] * [0!]。\]

其中X代表当前排列小的排列的个数,

a[i]代表当前排列里从i位置右侧比i位置的数小的数的个数。

详细解释；

在n=5的全排列中,计算{3,4,1,5,2}的康托展开值。

首位是3,则小于3的数有两个,为1和2,a[5]=2,则首位小于3的所有排列组合为a[5]*(5-1)!

第二位是4,则小于4的数有两个,为1和2,注意这里3并不能算，因为3已经在第一位，所以其实计算的是在第二位之后小于4的个数。因此a[4]=2。

第三位是1,则在其之后小于1的数有0个,所以a[3]=0。

第四位是5,则在其之后小于5的数有1个,为2,所以a[2]=1。

最后一位就不用计算啦,因为在它之后已经没有数了,所以a[1]固定为0.

根据公式：
rank=2*(4!)+2*(3!)+0*(2!)+1*(1!)+0*(0!)=61.

所以比{3,4,1,5,2}小的组合有61个,即{3,4,1,5,2}排名62。

以上内容来自度娘+个人认为.

所以就这么多了,还有一个逆康托展开,没有怎么学，网络上讲这个的还是不少的,想继续学的可以自行找寻度娘的~

---------------代码--------------

#include<bits/stdc++.h>
#define IL inline
#define RI register int
const int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶乘
char s[108];
int n;
IL int Contor(char s[],int n)
{
int ans=0;
for(RI i=0;i<n;i++)
{
//std::cout<<ans<<std::endl;
int smaller=0;
for(RI j= i+1 ;j<n;j++)
{
if(s[i] > s[j])smaller++;
}
ans += smaller*fac[n-i-1];
}
return ans+1;
}
int main()
{
std::cin>>n;
std::cin>>s;
std::cout<<Contor(s,n);
}