【AC自动机】【树状数组】【dfs序】洛谷 P2414 [NOI2011]阿狸的打字机 题解

这一题是对AC自动机的充分理解和树dfs序的巧妙运用。

题解：

在AC自动机学习笔记中，我提到了fail树的每一条链上的点代表的字母都是一样的。实际上，根据fail和nxt的定义，在这条链上深度较深的点总包含深度较浅的点。更确切地说，深度较浅的点总是深度较深的点的后缀。

有了上面的结论，我们就有了一种朴素算法：建立AC自动机，读取询问时让主串向父亲跳来检验fail指针指向的节点是不是模式串的结尾。接着沿fail指针检验一趟看是不是模式串的结尾，比KMP还要暴力一点。换句话说，就是个用AC自动机实现的KMP，而且代码巨短。

Code 40pts：

#include<cstdio>
#include<cstring>
struct node
{
node *fa,*ch[26];
node *fail;
node(node *fa)
{
this->fa=fa;
memset(ch,0,sizeof(ch));
fail=NULL;
}
node()
{
fa=NULL;
fail=NULL;
memset(ch,0,sizeof(ch));
}
}*root=new node(),*End[100100];
char s[100100];
int cnt=0;
node *q[100100];
int l=0,r=0;
void Fail()
{
root->fail=root;
for(int i=0;i<26;++i)
if(root->ch[i])
{
root->ch[i]->fail=root;
q[++r]=root->ch[i];
}
else
root->ch[i]=root;
while(l<r)
{
node *p=q[++l];
for(int i=0;i<26;++i)
if(p->ch[i])
{
p->ch[i]->fail=p->fail->ch[i];
q[++r]=p->ch[i];
}
else
p->ch[i]=p->fail->ch[i];
}
return;
}
int main()
{
scanf("%s",s);
int l=strlen(s);
node *now=root;
for(int i=0;i<l;++i)
if(s[i]=='P')
End[++cnt]=now;
else if(s[i]=='B')
now=now->fa;
else
{
if(!now->ch[s[i]-'a'])
now->ch[s[i]-'a']=new node(now);
now=now->ch[s[i]-'a'];
}
Fail();
int u,v,n;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
node *now=End[v];
int sum=0;
while(now!=root)
{
node *p=now;
while(p!=root)
{
if(p==End[u])
++sum;
p=p->fail;
}
now=now->fa;
}
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}

发现上面这种做法需要递归fail指针，我们可以考虑构建fail树，设主串的结束节点为\(a\)，模式串的结束节点为\(b\)，那么看fail树中\(b\)的子树中有多少个节点在主串上。（注意这里不是主串结尾，在主串中间也可以）因为子树上的点通过fail边总可以连接到\(b\)这个节点上来，因此整棵子树都可以对\(b\)做出贡献。可以稍微优化一点时间复杂度，但是得分还是在40到50左右。

在字典树上，有一种肥肠玄妙的优化叫树状数组。我们在这个题中只需要对字典树进行一遍DFS就可以了，在DFS过程中就可以处理各种询问，有点像tarjan求LCA算法的步骤。

首先我们明确fail树和字典树上的节点是一一对应的。但是fail树需要一个dfs序，这里不要和节点编号或者节点指针搞混了；先对fail树进行dfs，存下每个点的编号(dfn)和子树大小(sz)，方便之后对子树进行统计。

接着对字典树进行dfs，遇到一个节点就把这个节点的dfn在树状数组中+1，表明这个节点在当前访问的串中。当访问到一个作为结束点的节点时，就处理它作为主串的询问。此时有了上面一点点优化(可达50分)的思想，直接查询每个询问的模式串结束节点的子树中有多少个被+1了，因为是子树，在dfs序上是连续的，所以树状数组求区间和就可以了。回溯时不要忘了把这个点的dfn在树状数组中-1，表示不属于接下来访问的串。

这个题写起来真爽——虽然调的也很爽

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using std::vector;
struct node//AC自动机
{
node *ch[26],*fail,*fa;
vector<int> End;//是哪些字符串的结束点
int sz,num;//dfs序用的子树大小和自己的编号(dfn)
int head,ahead;
bool exi[26];
node(node *fa)
{
memset(exi,0,sizeof(exi));
this->fa=fa;
head=-1;
ahead=-1;
fail=NULL;
memset(ch,0,sizeof(ch));
}
node()
{
memset(exi,0,sizeof(exi));
head=-1;
ahead=-1;
fa=NULL;
fail=NULL;
memset(ch,0,sizeof(ch));
}
}*root=new node(),*End[100100];
//存fail树的边
struct edge
{
node *n;
int nxt,num;
edge(node *n,int nxt,int num)
{
this->n=n;
this->nxt=nxt;
this->num=num;
}
edge(node *n,int nxt)
{
this->n=n;
this->nxt=nxt;
}
edge(){}
}e[201000],ask[101000];
int ecnt=-1,acnt=-1;
void add(node *from,node *to)
{
e[++ecnt]=edge(to,from->head);
from->head=ecnt;
e[++ecnt]=edge(from,to->head);
to->head=ecnt;
}
void Add(node *from,node *to,int num)
{
ask[++acnt]=edge(to,from->ahead,num);
from->ahead=acnt;
}
//树状数组
int c[100100];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
int dcnt=0;
void change(int x,int v)
{
while(x<=dcnt)
{
c[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
return;
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
while(x)
{
ans+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
//求Fail
node *q[100100];
int l=0,r=0;
void Fail()
{
root->fail=root;
for(int i=0;i<26;++i)
if(root->ch[i])
{
root->ch[i]->fail=root;
add(root,root->ch[i]);
q[++r]=root->ch[i];
}
else
root->ch[i]=root;
while(l<r)
{
node *p=q[++l];
for(int i=0;i<26;++i)
if(p->ch[i])
{
p->ch[i]->fail=p->fail->ch[i];
add(p->ch[i],p->fail->ch[i]);
q[++r]=p->ch[i];
}
else
p->ch[i]=p->fail->ch[i];
}
return;
}
//dfs求dfs序
void dfs(node *x,node *from)
{
x->sz=1;
x->num=++dcnt;
for(int i=x->head;~i;i=e[i].nxt)
if(e[i].n!=from)
{
dfs(e[i].n,x);
x->sz+=e[i].n->sz;
}
return;
}
//dfs求答案
int ans[100100];
void Dfs(node *x)
{
change(x->num,1);
for(int i=x->ahead;~i;i=ask[i].nxt)
{
node *p=ask[i].n;
ans[ask[i].num]=sum(p->num+p->sz-1)-sum(p->num-1);
}
for(int i=0;i<26;++i)
if(x->exi[i])
Dfs(x->ch[i]);
change(x->num,-1);
}
char s[101000];
int main()
{
scanf("%s",s);
node *now=root;
int cnt=0;
for(int i=0;s[i]!='\0';++i)
if(s[i]=='P')
{
now->End.push_back(++cnt);
End[cnt]=now;
}
else if(s[i]=='B')
now=now->fa;
else
{
if(!now->ch[s[i]-'a'])
now->ch[s[i]-'a']=new node(now);
now->exi[s[i]-'a']=1;
now=now->ch[s[i]-'a'];
}
Fail();
dfs(root,root);
int n,u,v;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
Add(End[v],End[u],i);
}
Dfs(root);
for(int i=1;i<=n;++i)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}