【KMP】【矩阵加速】【递推】洛谷 P3193 [HNOI2008]GT考试 题解
2018-08-29 17:37
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看出来矩阵加速也没看出来KMP……
第一行输入\(N,M,K\),接下来一行输入\(M\)位的数。
输出格式:
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种,输出模\(K\)取余的结果。
输出样例#1:
首先令f[i][j]表示到第i个为止连续匹配了j个的方案数,考虑DP或递推。
一开始以为所有的转移都不带系数,感觉后面接一个数要么能继续匹配,要么不能继续匹配,只有两种转移情况,然后发现是比较固定的,\(N\le 10^9\)就可以矩阵加速完成推导了。
不过怎么改都过不了样例。想到后面接的数字有10种情况,只有1种可以连续,就分配1:9的倍数比例转移,当前方案数×9转移到失配,当前方案数×1转移到下一个。这时候样例过了,手敲的几组很弱的数据也没问题。交上去一分没有……
结果看了一些题解才知道,上面的方案数×9转移到失配中的失配不一定直接到0了,而是可能失配到中间,也就是可以从半路接着匹配到其它的,这里就和KMP不谋而合了。比如
因此\(f[i][j]=\sum\limits_{k=1}^{m-1}f[i-1][k]*a[i][k][j]\),\(a[i][k][j]\)表示到第i-1个字符连续匹配成功k次转移到第i个字符连续转移j次的方案数。正常情况下\(a[i][k][k+1]=1\),然后KMP的nxt数组就派上用场了,它可以求出下一个字符是c时的最长匹配\(f[i_1][j_1]\),让方案数变为加上\(f[i_1][j_1]\)。
初始化\(f[0][0]=1\),因为对每一个\(i\),\(a\)数组都是一定的,所以放进矩阵里转移,进行矩阵加速就可以了。状态矩阵是\((m+1)\times 1\)的,转移矩阵就需要\((m+1)\times (m+1)\)。
就有了$$\begin{bmatrix}
a[0][1] & a[1][1] & \cdots & a[m][1]\\
a[0][2] & a[1][2] & \cdots & a[m][2]\\
\cdots & \cdots & \ddots & \cdots\\
a[m][1] & a[m][2] & \cdots & a[m][m]
\end{bmatrix}
\times \begin{bmatrix}
f[i][0]\\
f[i][1]\\
\cdots \\
f[i][m]
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
f[i+1][0]\\
f[i+1][1]\\
\cdots \\
f[i+1][m]
\end{bmatrix}$$
在计算\(a\)数组时,方法和KMP匹配很像,只不过每次都要匹配'0'~'9',而且不是真正的KMP,所以变量\(j\)都要赋成\(i-1\)。
题目描述
阿申准备报名参加 GT 考试,准考证号为\(N\)位数\(X_1,X_2…X_n(0\le X_i\le9)\),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。 他的不吉利数学\(A_1,A_2…A_m(0\le A_i\le 9)\)有\(M\)位,不出现是指\(X_1,X_2…X_n\)中没有恰好一段等于\(A_1,A_2…A_m\),\(A_1\)和\(X_1\)可以为\(0\)。输入输出格式
输入格式:第一行输入\(N,M,K\),接下来一行输入\(M\)位的数。
输出格式:
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种,输出模\(K\)取余的结果。
输入输出样例
输入样例#1:4 3 100 111
输出样例#1:
81
说明
\(N\le 10^9,M\le 20,K\le 1000\)题解:
这个题虽然没怎么提字符串,但是KMP却是解题的关键。首先令f[i][j]表示到第i个为止连续匹配了j个的方案数,考虑DP或递推。
一开始以为所有的转移都不带系数,感觉后面接一个数要么能继续匹配,要么不能继续匹配,只有两种转移情况,然后发现是比较固定的,\(N\le 10^9\)就可以矩阵加速完成推导了。
不过怎么改都过不了样例。想到后面接的数字有10种情况,只有1种可以连续,就分配1:9的倍数比例转移,当前方案数×9转移到失配,当前方案数×1转移到下一个。这时候样例过了,手敲的几组很弱的数据也没问题。交上去一分没有……
结果看了一些题解才知道,上面的方案数×9转移到失配中的失配不一定直接到0了,而是可能失配到中间,也就是可以从半路接着匹配到其它的,这里就和KMP不谋而合了。比如
1313匹配到 ↑ 1312 虽然在最后一位失配了,但是不至于全部重来,可以只用移2位,得到 1313 ↑ 1312 后面的让之后的转移去做好了
因此\(f[i][j]=\sum\limits_{k=1}^{m-1}f[i-1][k]*a[i][k][j]\),\(a[i][k][j]\)表示到第i-1个字符连续匹配成功k次转移到第i个字符连续转移j次的方案数。正常情况下\(a[i][k][k+1]=1\),然后KMP的nxt数组就派上用场了,它可以求出下一个字符是c时的最长匹配\(f[i_1][j_1]\),让方案数变为加上\(f[i_1][j_1]\)。
初始化\(f[0][0]=1\),因为对每一个\(i\),\(a\)数组都是一定的,所以放进矩阵里转移,进行矩阵加速就可以了。状态矩阵是\((m+1)\times 1\)的,转移矩阵就需要\((m+1)\times (m+1)\)。
就有了$$\begin{bmatrix}
a[0][1] & a[1][1] & \cdots & a[m][1]\\
a[0][2] & a[1][2] & \cdots & a[m][2]\\
\cdots & \cdots & \ddots & \cdots\\
a[m][1] & a[m][2] & \cdots & a[m][m]
\end{bmatrix}
\times \begin{bmatrix}
f[i][0]\\
f[i][1]\\
\cdots \\
f[i][m]
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
f[i+1][0]\\
f[i+1][1]\\
\cdots \\
f[i+1][m]
\end{bmatrix}$$
在计算\(a\)数组时,方法和KMP匹配很像,只不过每次都要匹配'0'~'9',而且不是真正的KMP,所以变量\(j\)都要赋成\(i-1\)。
Code:
#include<cstdio> #include<cstring> long long p; struct matrix//矩阵部分 { long long a[25][25]; int x,y; matrix(int x,int y) { this->x=x; this->y=y; memset(a,0,sizeof(a)); } matrix() { memset(a,0,sizeof(a)); } matrix mul(matrix m) { matrix n(x,m.y); for(int i=1;i<=x;++i) for(int j=1;j<=m.y;++j) for(int k=1;k<=y;++k) { n.a[i][j]+=a[i][k]*m.a[k][j]%p; n.a[i][j]%=p; } return n; } }; int nxt[30],m; char t[30]; void kmp() { for(int i=2,j=0;i<=m;++i)//单纯求nxt { while(j&&t[j+1]!=t[i]) j=nxt[j]; if(t[j+1]==t[i]) ++j; nxt[i]=j; } } int main() { int n; scanf("%d%d%lld",&n,&m,&p); scanf("%s",t+1); kmp(); matrix x(m+1,m+1); for(int i=1;i<=m;++i) for(int j='0';j<='9';++j)//每个都要匹配,位置不一定都相同 { int k=i-1; while(k&&(k==m||t[k+1]!=j)) k=nxt[k]; if(t[k+1]==j) ++k; x.a[k+1][i]++; } for(int i=1;i<=m+1;++i) { for(int j=1;j<=m+1;++j) printf("%d ",x.a[i][j]); puts(""); } matrix y(m+1,1); y.a[1][1]=1; matrix ans(m+1,m+1); for(int i=1;i<=m+1;++i) ans.a[i][i]=1; while(n) { if(n&1) ans=ans.mul(x); x=x.mul(x); n>>=1; } ans=ans.mul(y); long long sum=0; for(int i=1;i<=m;++i) sum+=ans.a[i][1]; printf("%lld\n",sum%p); return 0; }
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