逆元知识普及(进阶篇) ——from Judge

关于一些逆元知识的拓展

四、Lucas定理(求大组合数取模)

题外话

基本公式： C(n,m) ≡ C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p) (mod p)

[code]    (也就是：   C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p  )

适用范围：n 和 m 非常大，而模数 p 比较小的情况 (偷懒)

Lucas 定理的运用

[code]将组合数中的 n 和 m 不断除以 p , 同时用除 p 的余数做组合数,累计入答案。
即,不断调用基本公式,递归求解,直至 m 等于 0 .
用上述例子就是：令C(n/p,m/p) ≡ C( (n/p)/p,(m/p)/p ) * C( (n/p)%p,(m/p)%p ) (mod p)
然后把 C(n/p,m/p) 求得的解 带入基本公式, 求出 C(n,m)%p 的值

证明及推导：

[code]要证：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
即证：C(n,m)=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)
证明条件：已知p是素数，n、m、p为整数。

1.由二项式定理得：


，且

[code]  (x+1) ^n ≡ (x+1) ^(n/p *p) * (x+1)^(n%p) (mod p)
带入三式： (x+1)^n ≡ (x^p +1)^(n/p)*(x+1)^(n%p) (mod p)

Lucas 的代码(同上随意手打)：

//by Judge
define ll long long
ll mod;
inline ll quick_pow(ll x,ll p){
ll ans=1;
while(p){
if(p&1) ans=ans*x%p;
x=x*x%p, b>>=1;
}
return ans;
}
inline ll C(ll n,ll m){
ll cn=1,cm=1,res=1;
if(n<m) return 0;
if(n==m) return 1;
if(m>n-m) m=n-m;
for(ll i=0;i<m;++i){
cn=(cn*(n-i))%mod;
cm=(cm*(m-i))%mod;
}
res=(cn*quick_pow(cm,mod-2))%mod;   //除法转换求逆元
return res;
}
ll Lucas(ll n,ll m){
ll ans=1;
while(n && m && ans){
ans=(ans*C(n%mod,m%mod))%mod;   //拆分+递归
n/=mod, m/=mod;
}
return ans;
}

五、解线性同余方程组

线性同余方程组：

证明及推导：

同余方程的合并：

代码:

int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y){  //本来不想附 ex_gcd 代码来着的...
if(!b) { x=1,y=0;return a; }
int d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x; return d;
}
inline ll solv(int n){
ll x=0,m=1; // x 记录前两个方程组的答案，初始为 0， m 记录前面所有的 a 的 lcm
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%lld%lld",&A,&B);
ll b=B-x,d=ex_gcd(m,A,z,y);
if (b%d!=0) return -1ll;
ll t=b/d*z%(A/d); x+=m*t,m*=A/d;
} return x>0?x:x+m;
}