[NOI2015]小园丁与老司机(DP+上下界最小流)

由于每行点的个数不超过1000，所以行内DP可以使用$O(n^2)$算法。

先找到每个点所能直接到达的所有点（x,y,x+y或x-y相同），用排序实现。

第一问：以行为阶段，对于每行，暴力枚举最有路径在这行上的起点和终点，g[x]记录当这行的最优路径以x为起点时，终点应在什么位置，f[x]记录走到x且这一行以x为起点，之后最多还能走到多少个点。

第二问：由于当一行的起点和终点都确定后，决策也是确定的，故只需要沿着DFS一遍即可得到最优路径。

第三问：先考虑怎么找到所有可能在最优路径上的边，同样暴力枚举每行的起点和终点即可，注意处理(0,0)的情况。找到符合要求的边后，问题就是用最少的路径数覆盖这些边，使用有上下界的最小流求解。

#include<map>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
#define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
using namespace std;

const int N=50010,M=1000010,inf=1000000000;
bool va
,vb
;
int n,mx,cnt=1,s0,ss,tt,S,T,d
,f
,h
,dis
,idx
,q
,cur
,a
,mp
[6];
int Lst
,Nxt
,pre
,suf
,premx
,sufmx
,to[M],fl[M],nxt[M],Do
,Do2
;
struct P{ int x,y; }p
;

bool cmp1(int a,int b){ return (p[a].y==p[b].y) ? p[a].x<p[b].x : p[a].y<p[b].y; }
bool cmp2(int a,int b){ return (p[a].x==p[b].x) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x<p[b].x; }
bool cmp3(int a,int b){ return (p[a].x-p[a].y==p[b].x-p[b].y) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x-p[a].y<p[b].x-p[b].y; }
bool cmp4(int a,int b){ return (p[a].x+p[a].y==p[b].x+p[b].y) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x+p[a].y<p[b].x+p[b].y; }
bool cmp5(int a,int b){ return (p[a].y==p[b].y) ? p[a].x<p[b].x : p[a].y>p[b].y; }

inline void add(int u,int v,int w){
to[++cnt]=v; fl[cnt]=w; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt;
to[++cnt]=u; fl[cnt]=0; nxt[cnt]=h[v]; h[v]=cnt;
}

void work(int u,int v,int low,int high){ add(u,v,high-low); d[u]-=low; d[v]+=low; }

bool bfs(){
rep(i,0,n+6) dis[i]=0; dis[S]=1; q[1]=S;
for (int st=0,ed=1; st<ed; ){
int x=q[++st];
For(i,x) if (fl[i] && !dis[k=to[i]]) dis[k]=dis[x]+1,q[++ed]=k;
}
return dis[T];
}

int dfs(int x,int lim){
if (x==T) return lim;
int c=0;
for (int i=cur[x],k; i; i=nxt[i])
if (fl[i] && dis[k=to[i]]==dis[x]+1){
int t=dfs(k,min(lim-c,fl[i]));
c+=t; fl[i]-=t; fl[i^1]+=t;
if (fl[i]) cur[x]=i;
if (c==lim) return lim;
}
if (!c) dis[x]=-1;
return c;
}

int dinic(){
int res=0;
while (bfs()){
rep(i,1,n+6) cur[i]=h[i];
res+=dfs(S,inf);
}
return res;
}

void Print(int x){
if (!x) return;
printf("%d ",x);
if (Do[x]==0) { Print(mp[x][Do2[x]]); return; }
if (idx[x]>idx[Do[x]]){
int t=Do[x];
for (int i=Nxt[x]; i; i=Nxt[i]) printf("%d ",i);
for (x=Lst[x]; x!=t; x=Lst[x]) printf("%d ",x);
printf("%d ",t); Print(mp[t][Do2[t]]); return;
}
if (idx[x]<idx[Do[x]]){
int t=Do[x];
for (int i=Lst[x]; i; i=Lst[i]) printf("%d ",i);
for (x=Nxt[x]; x!=t; x=Nxt[x]) printf("%d ",x);
printf("%d ",t); Print(mp[t][Do2[t]]); return;
}
}

void solve1(){
rep(i,1,n) a[i]=i;
sort(a+1,a+n+1,cmp1);
rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].y==p[a[i]].y) Lst[a[i]]=a[i-1],Nxt[a[i-1]]=a[i];
sort(a+1,a+n+1,cmp2);
rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].x==p[a[i]].x) mp[a[i-1]][1]=a[i];
sort(a+1,a+n+1,cmp3);
rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].x-p[a[i-1]].y==p[a[i]].x-p[a[i]].y) mp[a[i-1]][2]=a[i];
sort(a+1,a+n+1,cmp4);
rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].x+p[a[i-1]].y==p[a[i]].x+p[a[i]].y) mp[a[i-1]][3]=a[i];
sort(a+1,a+n+1,cmp5);
rep(i,1,n) idx[a[i]]=i;
}

void W(int x){
rep(i,1,3) if (mp[x][i]){
int to=mp[x][i];
if (f[to]+1>f[x]) Do2[x]=i,f[x]=f[to]+1;
}
}

int calc(int x,int y){
return (idx[x]<idx[y]) ? pre[y]+f[mp[y][Do2[y]]] : suf[y]+f[mp[y][Do2[y]]];
}

bool jud(P &p){ return p.x==0 || p.x==p.y || p.x==-p.y; }

void solve2(){
rep(k,1,n) if (p[a[k]].y!=p[a[k-1]].y) pre[a[k]]=1; else pre[a[k]]=pre[a[k-1]]+1;
for (int k=n; k; k--) if (p[a[k]].y!=p[a[k+1]].y) suf[a[k]]=1; else suf[a[k]]=suf[a[k+1]]+1;
rep(k,1,n) if (p[a[k]].y!=p[a[k-1]].y){
for (int x=a[k]; x; x=Nxt[x]) f[x]=1,W(x);
for (int x=a[k]; x; x=Nxt[x])
for (int y=a[k]; y; y=Nxt[y])
if (y!=x && calc(x,y)>f[x]) f[x]=calc(x,y),Do[x]=y;
}
rep(i,1,n) if (jud(p[i])) mx=max(mx,f[i]);
printf("%d\n",mx);
rep(i,1,n) if (f[i]==mx && jud(p[i])) { Print(i); break; }
puts("");
}

int solve3(){
rep(i,1,n) if (f[i]==mx && jud(p[i])) work(s0,i,1,inf),va[i]=1;
for (int i=n; i; i--) if (p[a[i]].y!=p[a[i+1]].y){
for (int x=a[i]; x; x=Lst[x]) if (va[x]){
if (f[mp[x][Do2[x]]]+1==f[x]) vb[x]=1;
for (int y=a[i]; y; y=Lst[y]) if (y!=x && calc(x,y)==f[x]) vb[y]=1;
}
for (int x=a[i]; x; x=Lst[x])
if (vb[x]) rep(j,1,3) if (mp[x][j] && f[mp[x][j]]==f[mp[x][Do2[x]]])
va[mp[x][j]]=1,work(x,mp[x][j],1,inf);
}
rep(i,1,n+1) work(ss,i,0,inf),work(i,tt,0,inf);
rep(i,1,n+1) if (d[i]>0) add(S,i,d[i]); else add(i,T,-d[i]);
add(tt,ss,inf); dinic(); S=tt; T=ss; return inf-dinic();
}

int main(){
freopen("driver.in","r",stdin);
freopen("driver.out","w",stdout);
scanf("%d",&n); s0=n+1; ss=n+2; tt=n+3; S=n+4; T=n+5;
rep(i,1,n) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
solve1(); solve2(); printf("%d\n",solve3());
return 0;
}