[bzoj4372] 烁烁的游戏 [动态点分治+线段树+容斥原理]
2018-07-25 20:12
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题面
传送门思路
观察一下题目,要求的是修改“距离点$u$的距离一定的点权值”,那这个就不能用传统的dfs序类算法+线段树维护,因为涉及到向父亲回溯的问题看到和树上距离相关的东西,还能想到什么呢?
没错,点分治算法
然后发现本题有修改操作,那动态点分治试一试?
如何点分治?
我们先把这棵树的点分树构造出来(后面的操作都是在点分树上的了)注意到我们一开始的dfs序想法中,影响最大的是往父亲回溯是可以达到$O(n)$的,再操作会炸
但是点分树的深度是严格$O(log_2n)$的,所以我们要是往上回溯也最多会回溯$log_2n$个节点
那么这是不是说明我们可以在点分树上开好线段树,然后每次对于当前点和其所有祖先更新信息,这样单次操作时间复杂度是$O(log_2^2n)$的,可以过掉这道题
线段树上怎么操作?
确定了线段树之后,我们发现另一个问题,那就是每次往根走的时候,因为修改点到当前枚举的它的祖先是有一个距离的,所以我们在这一点的线段树上维护时只能更新一定深度的点,而且还要去掉之前已经更新过的点......好麻烦,而且这个去掉的部分并没有什么办法做qwq
那么怎么办呢?我们可以考虑换个线段树的定义
我们之前的所有讨论,都是基于线段树的节点代表点分树上的真实节点(不管是dfs序还是bfs序之类的),但是这道题的一个关键就是距离 ,那么我们可不可以拿距离来定义一棵线段树呢??
以距离为数组下标的线段树
我们对于每一个点开一棵动态开点线段树,定义线段树叶节点$l$,其值为$w[l]$,其代表当前节点$u$对$u$的点分树子树中距离为$l$的所有点做出的修改为$w[l]$因为本题中所有的修改都是固定距离的,所以对同距离的点的修改可以合并在一起
那么接下来,我们来处理之前的去重问题
容易发现,现在的这棵线段树而言,我们只需要对某个点修改的同时,再新开另一棵线段树在这个点的父亲上,把当前点修改的部分记录在上面,询问的时候去掉(因为当前的定义是点分树子树中)
具体而言,对于点u,设当前已经枚举到了它的祖先f1,下一个是f2,修改的权值是w,询问距离范围是d
那么对于f1,我们需要更新区间$[0,d-dis(u,f1)]$,值加上w
同时我们在f2的第二棵线段树中,更新区间$[0,d-dis(u,f1)]$,值加上w
查询的时候,我们依旧从$u$每次往上跳,对于每个祖先$f$,我们在他的两棵线段树上单点查询,每次查询位置$dis(u,f)$,用第一棵线段树的值减去第二棵的
最后,修改和询问的时候,一开始都要对当前点u处理,因为$u$没有儿子需要斥掉(这一段本质是个容斥原理)
线段树是区间修改单点查询的动态开点线段树,使用标记永久化可以方便地实现
如果还有没说清楚的,可以参考一下代码qwq
Code
说起来算法还挺复杂的.....但是代码不算长哦#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cassert> #include<ctime> #define ll long long #define log lg2 using namespace std; inline int read(){ int re=0,flag=1;char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0'){ if(ch=='-') flag=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar(); return re*flag; } int n,q,first[100010],cnte,son[100010],siz[100010],fa[100010],dep[100010],app[100010],sum; int rt,log[500010],euler[500010],cntu=0,st[500010][20],back[500010]; struct edge{ int to,next; }a[200010]; inline void add(int u,int v){ a[++cnte]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnte; a[++cnte]=(edge){u,first[v]};first[v]=cnte; } void getdep(int u,int f){ int i,v;dep[u]=dep[f]+1;euler[++cntu]=dep[u];app[u]=cntu;back[cntu]=u; for(i=first[u];~i;i=a[i].next){ v=a[i].to;if(v==f) continue; getdep(v,u); euler[++cntu]=dep[u];back[cntu]=u; } } void ST(){ log[1]=0; int i,j,l,r; for(i=2;i<=cntu;i++) log[i]=log[i>>1]+1; for(i=1;i<=cntu;i++) st[i][0]=i; for(j=1;j<=19;j++){ for(i=1;i+(1<<j)<=cntu;i++){ l=st[i][j-1];r=st[i+(1<<(j-1))][j-1]; st[i][j]=(euler[l]<euler[r])?l:r; } } } int lca(int l,int r){//ST表rmq实现LCA l=app[l];r=app[r]; if(l>r) swap(l,r); int k=log[r-l+1],x,y,re; x=st[l][k];y=st[r-(1<<k)+1][k]; re=((euler[x]<euler[y])?x:y); return back[re]; } int getdis(int l,int r){ return dep[l]+dep[r]-2*dep[lca(l,r)]; } bool vis[100010]={0}; void getroot(int u,int f){ int i,v;siz[u]=1;son[u]=0; for(i=first[u];~i;i=a[i].next){ v=a[i].to;if(vis[v]||v==f) continue; getroot(v,u); siz[u]+=siz[v];son[u]=max(son[u],siz[v]); } son[u]=max(son[u],sum-siz[u]); if(son[rt]>son[u]) rt=u; } void build(int u){//建立点分树 int i,v;vis[u]=1; for(i=first[u];~i;i=a[i].next){ v=a[i].to;if(vis[v]) continue; rt=0;son[rt]=1e9;sum=siz[v]; getroot(v,0);fa[rt]=u;build(rt); } } int root[100010][2],lazy[20000010],cnt,ch[20000010][2]; void insert(int &cur,int l,int r,int ql,int qr,int val){ if(!cur) cur=++cnt; if(l==ql&&r==qr){lazy[cur]+=val;return;} int mid=(l+r)>>1; if(qr<=mid) insert(ch[cur][0],l,mid,ql,qr,val); else{ if(ql>mid) insert(ch[cur][1],mid+1,r,ql,qr,val); else{ insert(ch[cur][0],l,mid,ql,mid,val); insert(ch[cur][1],mid+1,r,mid+1,qr,val); } } } void update(int u,int d,int val){ int tmp=u,dis; insert(root[u][0],0,n,0,d,val);//先搞当前点 for(;fa[u];u=fa[u]){ dis=d-getdis(tmp,fa[u]); if(dis<0) continue;//如果距离已经大于询问的距离了,那么显然不用改了 insert(root[fa[u]][0],0,n,0,dis,val);//分别更新两棵树 insert(root[u][1],0,n,0,dis,val); } } int query(int cur,int l,int r,int pos){ if(!cur) return 0; if(l==r) return lazy[cur]; int mid=(l+r)>>1; if(pos<=mid) return lazy[cur]+query(ch[cur][0],l,mid,pos); else return lazy[cur]+query(ch[cur][1],mid+1,r,pos); } int getans(int u){ int re=query(root[u][0],0,n,0),tmp=u;//先加上当前点询问 for(;fa[u];u=fa[u]){ re+=query(root[fa[u]][0],0,n,getdis(tmp,fa[u]))-query(root[u][1],0,n,getdis(tmp,fa[u]));//两个值相减 } return re; } int main(){ memset(first,-1,sizeof(first)); n=read();q=read();int i,t1,t2,t3;char s[10]; for(i=1;i<n;i++){ t1=read();t2=read(); add(t1,t2); } getdep(1,0);ST(); son[rt]=1e9;rt=0;sum=n; getroot(1,0);build(rt); for(i=1;i<=q;i++){ scanf("%s",s); if(s[0]=='Q'){ t1=read(); printf("%d\n",getans(t1)); } else{ t1=read();t2=read();t3=read(); update(t1,t2,t3); } } }
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