基础乐理与数学

本文简略介绍了最简单的乐理部分与数学的些许联系，只要有一点乐理和数学的入门基础就能较轻松地理解。

文章相当一部分整理与借鉴于其它文章，且理解可能有误，参考资料已在文末列出，欢迎交流与指正。

第一部分：声学基础

　　乐理的基本内容包括：和声、调式、节奏、结构、曲式。主要来说，音乐的组成从简单到复杂依次是：纯音、谐波、拍音、和声、调式、曲式。下面只介绍前几种基本的音乐组成单元。

　　1. 音与音的复合

　　　　(1) 音：

　　　　　　能被人类的听觉所感知的一段声波，通常可以用一个声波的波形来表示。

　　　　　　音的本质是一段声波（根据人耳辨别范围可知声波频率应在20Hz~20000Hz之内）。

　　　　　　一般音乐中的每个音都是周期性的，这在后面音的谐和部分会提到。

　　　　　　音是可以叠加的，后一个音出现时，前一个音可能尚未消失，这就关联到声波方面的傅立叶变换。

　　　　　　音是音乐的最基本的组成单位。

　　　　(2) 音的复合：

　　　　　　说到声波最先想到的最简单的波形即是正弦波，即以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波。

　　　　　　这种声波被称为纯音，比如音叉的声音或220Hz正弦波。

　　　　　　纯音显然几乎没有音色可言，音与音的复合形成了复合音。

　　　　　　复合音一般分为两种：谐波叠加与拍音叠加。

　　2. 谐波叠加与拍音叠加

　　　　(1) 谐波叠加

　　　　　　我们将一个标准的正弦波作为基准，称为基波，谐波就是比基波的频率高整数倍的波。

　　　　　　钢琴、小提琴等弦乐器产生的一个音一般都是多个谐波的叠加，在音乐领域被称为泛音。

　　　　　　一般将一个音中振幅最大的波作为基波，其余波的频率都是这个波的倍数。

　　　　　　也就是说，组成一个谐波叠加的音的所有正弦波$ksin(\frac{x}{\omega})$的频率都是基波的倍数。

　　　　(2) 拍音叠加

　　　　　　一个拍音是由来自同一种乐器或不同乐器的两个单音相互叠加，形成具有规律性强弱变化的振动。

　　　　　　与谐波不同的是，拍音一般要求这两个音的振幅相近，但不要求频率为倍数关系。

　　　　　　粗略理解就是：如果组成复合音的纯音频率互为倍数则为谐波叠加，否则为拍音叠加。

　　　　(3) 复合音的频率与“谐和”

　　　　　　只考虑最简单的情况，两个音的频率分别为$a$和$b$，则这两个音的叠加的频率应为多少？

　　　　　　复合音的周期是这两个音的周期的最小公倍数，即$gcd(\frac1a\frac1b)$，频率即为周期的倒数。

　　　　　　但是，如果两个音的频率均为无理数，例如$\sqrt{3}$与$\sqrt{5}$，理论上这不是一个周期函数，这时需要用到近似。这个复合音的频率可以认为是$\frac{1}{4\sqrt{3}}$，因为$\sqrt{3}/\sqrt{5}\approx 0.7746$，接近于$0.75$，也就是$3:4$。因此这个拍音的“听感频率”大约为$\sqrt{5}/4到\sqrt{3}/3$之间。

　　　　　　人耳一般会认为复合音的频率越高，声音越悦耳，即两个音的频率的倒数的lcm应尽量小，这样的两个音被称为“彼此谐和”的。

　　　　　　这里出现了一个数学方面的拓展：复合音的频率与测度论的关系。

　　　　　　链接：https://www.bilibili.com/video/av3586477/

第二部分 乐律与调式

　　1. 十二平均律

　　　　(1) 平均律

　　　　　　首先我们要知道，跨越一个八度音程的两个音的频率相差一倍，即$a:b=1:2$。

　　　　　　现在我们将一个八度音程等分成十二个部分，那么显然第一个音是$a$，第二个音是$a\times 2^{\frac{1}{12}}$，第三个是$a\times 2^{\frac{2}{12}}$，...，第十三个是$2a$。

　　　　　　十二平均律中，任意两个相邻的音的频率比为$\sqrt[12]{2}$任两个相邻的音之间的音数为0.5。

　　　　(2) 音程名称与音数

　　　　　　学过乐理的人一定能辨别每两个音相差的音程名称，而每个音程名称都对应了一个固定的音数，如下表：

　　　　(3) 五线谱

　　　　　　请直接查看：https://www.geek-share.com/detail/2593690702.html

　　　　　　需要注意的是，第一个音程的A音的频率是440Hz，这样我们就可以轻松地计算出任何一个音的频率了。

　　2. 五度相生律

　　　　前面提到，人们一般会认为两个彼此谐和的音之间会较为悦耳，但我们遗憾地发现，用十二平均律规定的各个音大部分都是完全不谐和的，这使人们希望找到一个彼此更加谐和的划分方法。

　　　　我们将一个弦分成1:2两部分，则这两部分的频率比为3:2，如果在前1/3中再分出前1/3，则两部分的频率比变为9:4，以此类推，我们将这个频率列成表：

　　　　我们发现这个倍率已经超过2了，那么我们将每个值除以不大于它的最接近的2的次幂，从小到大排列<1.125 1.265625 1.333 1.5 1.6875 1.8984375>。f自身的倍率为1，2f为2，把这8个倍率一起画在二维坐标系中，如图所示。

　　　　发现这个和呈完美指数增长的划分相差并不多，更奇妙的是，这些音两两谐和。

　　3. 纯律

　　　　我们在五度相生律中取得了良好的效果，继续这个思路，接着将表列出来：

：

　　　　由这些倍率产生的12音阶为（用倍率除以它下面的第一个2^n而得）：{1, 1.0679, 1.125, 1.2014, 1.2656, 1.3515, 1.4238, 1.5, 1.6018, 1.6875, 1.802, 1.8984}，把他们画在坐标系中：

　五度相生律产生12音阶（新产生的五个音为绿色）

　　　　这也是一条平滑的折线，且每个音两两谐和。这就是纯律。

　　4. 和声，调式与调性

　　　　这部分的内容与数学关系不是非常密切，且内容稍深，故本文不作讨论，又兴趣可以阅读文末的资料。

参考与推荐资料

　　　　1. 特别鸣谢：《写给理工科看的乐理》系列，本文大部分内容都来源于这个系列博文。

　　　　https://www.geek-share.com/detail/2593613060.html

　　　　2. 参考：网上诸多关于乐理、调式等方面的文章。

　　　　3. 推荐：完全工科向的乐理知识普及：http://tieba.baidu.com/p/3560081405