BZOJ.2339.[HNOI2011]卡农(思路 DP 组合 容斥)
2018-06-12 09:09
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设\(f[i]\)表示构造前\(i\)个集合并满足条件的方案数。
每个数出现次数为偶数,所以如果前\(i-1\)个集合确定,第\(i\)个集合也可以确定。这样对于\(i\)有\(A_{2^n-1}^{i-1}\)种方案,即从所有非空集合中确定\(i-1\)个集合。
但是会有非法情况,比如这样得到的第\(i\)个集合为空,那么说明前\(i-1\)个集合已经满足条件,这样的方案数是\(f[i-1]\),减掉。
也有可能得到的第\(i\)个集合与之前某个集合\(j\)重复,那么去掉\(i,j\)后得到的会是合法方案,即\(f[i-2]\),而第\(i/j\)个集合的选取有\(2^n-1-(i-2)\)种可能,\(j\)集合的位置有\(i-1\)种可能,所以减去\(f[i-2]*(i-1)*[2^n-1-(i-2)]\)。
这样所有限制都处理完了。
递推式:\(f[i]=A_{2^n-1}^{i-1}-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)*[2^n-1-(i-2)]\)
为什么不能用组合做而要化成排列呢。。
我觉得是后面枚举的集合情况与前面不一定无序吧。。
求解答。。
\(Description\)
有\(n\)个数,用其中的某些数构成集合,求构造出\(m\)个互不相同且非空的集合(\(m\)个集合无序),并满足每个数总共出现的次数为偶数的方案数。\(Solution\)
为简化问题,将无序转为有序,只需在最后除以\(m!\)即可。设\(f[i]\)表示构造前\(i\)个集合并满足条件的方案数。
每个数出现次数为偶数,所以如果前\(i-1\)个集合确定,第\(i\)个集合也可以确定。这样对于\(i\)有\(A_{2^n-1}^{i-1}\)种方案,即从所有非空集合中确定\(i-1\)个集合。
但是会有非法情况,比如这样得到的第\(i\)个集合为空,那么说明前\(i-1\)个集合已经满足条件,这样的方案数是\(f[i-1]\),减掉。
也有可能得到的第\(i\)个集合与之前某个集合\(j\)重复,那么去掉\(i,j\)后得到的会是合法方案,即\(f[i-2]\),而第\(i/j\)个集合的选取有\(2^n-1-(i-2)\)种可能,\(j\)集合的位置有\(i-1\)种可能,所以减去\(f[i-2]*(i-1)*[2^n-1-(i-2)]\)。
这样所有限制都处理完了。
递推式:\(f[i]=A_{2^n-1}^{i-1}-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)*[2^n-1-(i-2)]\)
为什么不能用组合做而要化成排列呢。。
我觉得是后面枚举的集合情况与前面不一定无序吧。。
求解答。。
//4728kb 404ms #include <cstdio> #include <algorithm> #define P (100000007) #define Mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%P) #define Sub(a,b) (a<b ? (a)-(b)+P : (a)-(b))//()! const int N=1e6+5; int n,m,f ; inline int FP(int x,int k) { int t=1; for(; k; k>>=1, x=Mul(x,x)) if(k&1) t=Mul(t,x); return t; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); int pw2=FP(2,n)-1;//if(!pw2) pw2=P-1; else --pw2; f[0]=1, f[1]=0; for(int i=2,Alas=pw2; i<=m; ++i) { f[i]=(Alas-f[i-1]+P-1ll*f[i-2]*(i-1)%P*Sub(pw2,i-2)%P+P)%P; Alas=Mul(Alas, Sub(pw2+1,i));//别去用数组存A[]了。。 } int inv=1; for(int i=2; i<=m; ++i) inv=Mul(inv,i); inv=FP(inv,P-2); printf("%lld",Mul(f[m],inv)); return 0; }
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