Dynamic Rankings || 动态/静态区间第k小(主席树)
JYF大佬说,一星期要写很多篇博客才会有人看
但是我做题没有那么快啊QwQ
Part1 写在前面
区间第K小问题一直是主席树经典题=w=今天的重点是动态区间第K小问题。静态问题要求查询一个区间内的第k小的值(可重),动态问题还要求支持单点修改操作。
这个问题也可以用线段树+Splay/整体二分解决,然而那些对蒟蒻来说都太难辣QwQ,这里给一个XZY大佬的整体二分的讲解传送门
我们的做法是主席树+树状数组,如果有不会主席树的同学可以看我之前写的博客=w=,由于静态问题是动态问题的基础,所以我会先讲静态的怎么做,如果你已经对静态区间第k小问题了如指掌的话就可以跳过Part2直接看重点啦=w=
Part2 静态区间第k小
这个其实很简单,我们的每一棵主席树都是一棵权值线段树,第 $ i $ 棵主席树的每个叶子节点都存储对应的(离散化后的)值在序列前缀 $ [1,i] $ 中出现的次数,例如第 $ i $ 棵主席树的 $ j $ 个叶子节点就存储数值 $ hash[j] $ 在区间 $ [1,i] $ 中出现的次数。内部节点存储的则是两个儿子的值的和,例如表示区间 $ [l,r] $ 的内部节点存储的是 $ hash[l到r] $ 的所有数在序列 $ [1,i] $ 中出现的次数总和。
建树时,我们将序列的值离散化,主席树的时间维表示原序列坐标,从左到右依次插入。如果要查询前缀 $ [1,r] $ 中的第k小,就相当于在第 $ r $ 棵主席树上进行一个类似于splay的kth操作:看看当前节点 $ [l,r] $ 的左儿子的值 $ size $ ,如果大于等于k,说明当前区间第k小为 $ [l,mid] $ 中的第k小,反之则为 $ [mid+1,r] $ 中的第(k-size)小。这样不停地递归子区间,最后我们会来到一个叶节点,它就是我们要找的第k小了。那么,如果要查询区间 $ [l,r] $ 中的第k小的话,只需同时在第 $ r $ 与第 $ l-1 $ 棵主席树上进行kth,将 $ size $ 值相减后与k比较即可。
这么说可能不太直观,来一段代码:
void insert(int l,int r,int &x,int y,int tar)//x:当前位置i代表的root,y:i-1,tar:a[i]离散化后的位置 { x=++cnt,node[x]=node[y],++node[x].x; if(l==r)return; int m=(l+r)>>1; if(tar<=m)insert(l,m,node[x].l,node[y].l,tar); else insert(m+1,r,node[x].r,node[y].r,tar); } int query(int l,int r,int x,int y,int size)//size即为第k小的k,x、y为两棵主席树当前遍历到的节点 { if(l==r)return l; int m=(l+r)>>1,tmp=node[node[y].l].x-node[node[x].l].x; if(tmp>=size)return query(l,m,node[x].l,node[y].l,size); else return query(m+1,r,node[x].r,node[y].r,size-tmp); }
Part3 动态区间第k小
请确保你已经完全掌握了静态区间第k小问题,推荐SPOJ的COT这一题作为练习QwQ
在静态问题中,我们所建出来的主席树(们)所表示的区间长这样:
如果要修改原数组上的一个点,我们就必须一连修改包含它的n棵主席树,一次修改的复杂度就达到了 $ O(nlog_2n) $ 。我们要想办法使得一次修改不需要改那么多树。
emmmm...
查询前缀和,一次修改 $ log_2n $ 个节点,那岂不是。。。
树状数组:没错,就是我!
如果我们像这样划分每棵主席树所代表的区间:
显然,原序列的一个点最多被包含在 $ log_2n $ 棵主席树中,我们要查询区间 $ [l,r] $ 时则需要计算出 $ l-1 $ 与 $ r $ 的前缀和再相减即可。这两个操作的复杂度都变成了 $ O(long^2_2n) $ 。而且,树状数组编程复杂度极低,我们不需要真的写一个数据结构,只需要在主席树中运用lowbit函数就行了。
注意,这种划分方式使得每一棵主席树之间没有了公共部分,它们其实已经不能称之为主席树了,不如说是很多棵动态开点的线段树放在一起。然而,为了节省空间与时间(ZOJ上空间限制为丧心病狂的32MB),我们可以初始化一棵静态的主席树,只用套了树状数组的主席树来维护修改。其他的细节就看代码吧。
代码(ZOJ可AC):
#include <cstdio> #include <cstring> #include <abstergo> #define R register using namespace std; const int MAXN=50050; const int inf=0x3f3f3f3f; int a[MAXN*2],X[MAXN*2],top; int n; template<class T>void read(T &x) { x=0;int ff=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){ff|=(ch=='-');ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();} x=ff?-x:x; } void readc(char &ch) { ch=getchar(); while(ch<'A'||ch>'Z')ch=getchar(); } struct asks { char ch; int t1,t2,t3; }ask[MAXN];//存储询问 inline int lowbit(int x) {return x&(-x);} int find(int x) {return lower_bound(X+1,X+1+top,x)-X;} class CMT { private: int root1[MAXN*2],root[MAXN*2],bitr[50],bitl[50],cnt; struct CMT_node { int l,r,x; }node[MAXN*50]; void insert(int l,int r,int &x,int y,int tar,int del) { if(!x||x==y)x=++cnt,node[x]=node[y]; node[x].x+=del; if(l==r)return; int m=(l+r)>>1; if(tar<=m)insert(l,m,node[x].l,node[y].l,tar,del); else insert(m+1,r,node[x].r,node[x].r,tar,del); } int query(int l,int r,int x,int y,int size,int len1,int len2) { if(l==r)return l; int m=(l+r)>>1,tmp; tmp=node[node[y].l].x-node[node[x].l].x; for(int i=1;i<=len1;++i)tmp+=node[node[bitr[i]].l].x; for(int i=1;i<=len2;++i)tmp-=node[node[bitl[i]].l].x; if(tmp>=size) { for(int i=1;i<=len1;++i)bitr[i]=node[bitr[i]].l; for(int i=1;i<=len2;++i)bitl[i]=node[bitl[i]].l; return query(l,m,node[x].l,node[y].l,size,len1,len2); } else { for(int i=1;i<=len1;++i)bitr[i]=node[bitr[i]].r; for(int i=1;i<=len2;++i)bitl[i]=node[bitl[i]].r; return query(m+1,r,node[x].r,node[y].r,size-tmp,len1,len2); } } public: void init() { cnt=0; memset(root1,0,sizeof(root1)); memset(root,0,sizeof(root)); for(int i=1;i<=n;++i) insert(1,top,root1[i],root1[i-1],find(a[i]),1); } void change(int tar,int num) { int r=find(num),l=find(a[tar]); a[tar]=num; while(tar<=n) { insert(1,top,root[tar],0,r,1); insert(1,top,root[tar],0,l,-1); tar+=lowbit(tar); } } int getkth(int l,int r,int x) { int len1=0,len2=0; int ll=l-1,rr=r; while(rr)bitr[++len1]=root[rr],rr-=lowbit(rr);//用两个数组存储查找时需要用到的主席树的编号 while(ll)bitl[++len2]=root[ll],ll-=lowbit(ll); return query(1,top,root1[l-1],root1[r],x,len1,len2); } }cmt; int main() { int T; read(T); while(T--) { int m; read(n),read(m); for(R int i=1;i<=n;++i) read(a[i]),X[i]=a[i];//离散化 for(R int i=1;i<=m;++i) { readc(ask[i].ch); if(ask[i].ch=='Q') { read(ask[i].t1),read(ask[i].t2),read(ask[i].t3); X[i+n]=inf; } else { read(ask[i].t1),read(ask[i].t2); X[i+n]=ask[i].t2; } } sort(X+1,X+1+n+m); X[0]=-inf;top=0; for(R int i=1;i<=n+m;++i) if(X[i]!=X[i-1])X[++top]=X[i]; cmt.init(); for(R int i=1;i<=m;++i) { if(ask[i].ch=='Q') printf("%d\n",X[cmt.getkth(ask[i].t1,ask[i].t2,ask[i].t3)]); else cmt.change(ask[i].t1,ask[i].t2); } } return 0; }
最后祝你:身体健康。再见。
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