bzoj 2257[Jsoi2009]瓶子和燃料 数论/裴蜀定理
题目
Description
jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后,火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度,只
在瓶口标注了容量,第i个瓶子的容量为Vi(Vi 为整数,并且满足1<=Vi<=1000000000 ) 。
火星人比较吝啬,他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后,会跑到燃料
库里鼓捣一通,弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手,于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作:1、将某个瓶子装满燃料;
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库;3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b,直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料,当然是这些操作能
得到的最小正体积。
jyy知道,对于不同的瓶子组合,火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合,使得火星人给出尽量多的燃料。
Input
第1行:2个整数N,K,
第2..N 行:每行1个整数,第i+1 行的整数为Vi
Output
仅1行,一个整数,表示火星人给出燃料的最大值。
Sample Input
3 23
4
4
Sample Output
4 一句话题意 本来只是想单纯地学习一下裴蜀定理,没想到碰到了这题。乍一看好眼熟啊,这不就是学姐出的一道几乎一模一样的题吗(逃。讲那题时说了裴蜀定理,当时还听懂了,只是下课后就忘了orz,但是最后还说解决这题用分块(??? 那么我们先来看一看裴蜀定理吧 从oi的角度看,裴蜀定理: 对于任意整数a,b,存在一对整数x,y使 ax+by=gcd(a,b) 证明部分可以出门左转baidu... 那么跟本题有什么关系呢?看了好多log的博客,都对求gcd的原因一带而过。然而我太蒟啊,看不出这是显然的。 先看两个瓶子的情况,如果两个瓶子的容量分别为a,b,那么两个瓶子乱搞出的容量为ax+by,又因为gcd(a,b)|ax+by, 所以最小体积为gcd(a,b)。推广到n个瓶子,就是这n个瓶子容量的gcd。 这话不是我说的是另一位神犇说的 代码搞一搞(vector用不好,只能用朴素的方法1 #include<cmath> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<vector> 5 using namespace std; 6 int n,k,ans=1,step; 7 int cnt[1500000]; 8 9 bool cmp(int a,int b) 10 { 11 return a>b; 12 } 13 14 void apart(int x) 15 { 16 for(int i=1;i*i<=x;i++) 17 { 18 if(x%i==0) 19 { 20 cnt[++step]=i; 21 if(x/i!=i) cnt[++step]=x/i; 22 } 23 } 24 } 25 int main() 26 { 27 scanf("%d%d",&n,&k); 28 for(int i=1;i<=n;i++) 29 { 30 int x=0; 31 scanf("%d",&x); 32 apart(x); 33 } 34 sort(cnt+1,cnt+step+1,cmp); 35 for(int i=1;i<=step;i++) 36 { 37 if(cnt[i]==cnt[i-1]) 38 { 39 ans++; 40 if(ans==k) 41 { 42 printf("%d",cnt[i]); 43 return 0; 44 } 45 } 46 else ans=1; 47 } 48 49 return 0; 50 }View Code
更多的有关裴蜀定理
在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):
ax + by = m
有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解x、y都称为裴蜀数,可用辗转相除法求得。
例如,12和42的最大公因子是6,则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。
特别来说,方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。
裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义:d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。
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