C# 定积分求周长&面积原理 代码实现

前言：

         前些日子，因为工作原因，接触到了求解曲线周长，真的是搞了很久，学生时代真的很简单，但是如今的我来说，忘记了....很多人跟我应该一样。

          所以来巩固加强一下记忆。一开始的时候，求周长嘛，找公式呗，什么matlab呀，乱七八糟的，晕，最后找到了可能还不能满足项目的需求，因为可能计算量过大。（我就是这样子的，灵活性相对较低）

          还有就是明明自己可以用代码实现，为什么非要插件，工具呐，这么不自信的？

          所以，“一怒之下”，自己去看了一下定积分求周长的原理，自己还是用代码来实现吧。

(以下内容纯是个人这段时间的理解，如果有错误的，欢迎指正出来。)

首先需要说说两个概念，曲线和周长，因为我们要求他们嘛。

曲线：

　　这个世界，有曲线吗？我的回答是，没有。那...这...曲线是由无数个直接拼接而成。再准确的说无数个很短的曲线拼接而成。

（如果您彻底理解了这句话，后面就不用看了，基本就没了。）

面积：

　　与周长的概念类似，没有正方形，没有圆形。只有三角形，所有的图形都是三角形拼接而成。而两个三角形拼成长方形，而我们的面积是由无数个长方形，拼接而成。

                （定积分原理的参考图）

源码实现：　

double GetLength(float start,float end)
{
double sumLength = 0;

float eachX = (end - start) / testCount;
for (int i = 1; i < testCount;i++ )
{

double curY =ArcFunction(start+eachX*i);
double previousY = ArcFunction(start+eachX*(i-1));
//根据c²=a²+b²
double curLength = Math.Sqrt(Math.Pow(eachX, 2) + Math.Pow(curY - previousY, 2));
sumLength += curLength;
}
return sumLength;
}

   解释：

             testCount，即自定义的测试数量，可以理解为精细度，值越大，计算量越大，数据越准确，这个可看你项目需求精细度，通过该变量

可在实现最少的计算量情况，实现你要的效果。

　　　　eachX，就是你的曲线被分成N份，每份的长度。

　　　　curY,当前点的y轴分量

　　　　previousY，上一个点的y轴分量，

　　　　curLength,即如图　　　

                  （剩余的部分，代码里面含解释，个人喜欢放在源码里面，原生的，纯24k原创）　　　

int testCount = 1000; //所谓的测试细致度吧，可动态调控，你自己掌握。
/// <summary>
/// 通过已知周长，获取x轴的分量
/// </summary>
/// <param name="length"></param>
/// <returns></returns>
double GetRateXByLength(double length)
{
float eachX = 1.0f;
for (int i = 1; i < testCount; i++)
{
double curY = ArcFunction(eachX * i);
double previousY = ArcFunction(eachX * (i - 1));
double curLength = Math.Sqrt(Math.Pow(eachX, 2) + Math.Pow(curY - previousY, 2));
length -= curLength;
if(length<=0)
{
return i * eachX;
}
}
return testCount * eachX;
}

/// <summary>
/// start到end范围内的面积
/// </summary>
/// <param name="start"></param>
/// <param name="end"></param>
/// <returns></returns>
double GetArea(float start,float end)
{
double sumAera = 0;

float eachX = (end - start) / testCount;
for (int i = 1; i < testCount; i++)
{
double curY = ArcFunction(start + eachX * i);
//面积 = 长*宽
double curAera = curY * eachX;
sumAera += curAera;
}
return sumAera;
}

/// <summary>
/// 通过已知面积，获取x轴分量
/// </summary>
/// <param name="aera"></param>
/// <returns></returns>
double GetRateXByAera(double aera)
{
float eachX = 1.0f;
for (int i = 1; i < testCount; i++)
{
double curY = ArcFunction(eachX * i);
double curAera = curY * eachX;
aera -= curAera;
if(aera<=0)
{
return i * eachX;
}
}
return testCount*eachX;
}

/// <summary>
/// 通过x分量，得出y的值。(好像意义不大，但是好像可能有些人不是很理解，写给某些人看的，一目了然)
/// </summary>
/// <param name="x"></param>
/// <returns></returns>
double GetYByX(float x)
{
return ArcFunction(x);
}

/// <summary>
/// 核心控制函数。
/// </summary>
/// <param name="x"></param>
/// <returns></returns>
double ArcFunction(float x)
{
return Math.Pow(x, 2); //这边我用幂函数来测试。各位爷可以换其他函数啊。

//注：如果对曲线灵活性要求很高，推荐使用贝塞尔曲线。
//详情可参考：
}

补充：这边，我对贝塞尔曲线做一下补充吧。因为我因为什么幂函数，指数函数遇到的肯，因为这些函数毕竟还不是那么灵活，都具有一定“规律”。

贝塞尔曲线的灵活，受6个参数控制，三个点嘛。（二维空间）

 详情可参考这篇：http://www.sohu.com/a/118656687_466876

======================================= 2018年9月3日补充================================================================

　　　　　　　　可以使用第三方插件：开源Math.Net进行数值积分。

　　　　　　　　参考：https://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4301017.html　　　　　

public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd);

void Start () {
var result = Integrate.OnClosedInterval(TestFunc, 0, 24);
Debug.Log(result);
}

double TestFunc(double x)
{
return x * x;
}

　　但是上述的result为面积，也是dy。

　　再根据定积分求弧长公式：

 　　　　　　即：弧长 =  √(1+result²)　　　　

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