洛谷P1447 - [NOI2010]能量采集
2018-04-18 22:31
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Description
给出\(n,m(n,m\leq10^5),\)计算\[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (2gcd(i,j)-1)\]
Solution
简单起见我们来钦定\(n\leq m\),然后计算\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j)\)。
\[ans = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j) = \sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d]\]根据洛谷P2522,变换为
\[ ans = \sum_{d=1}^n d \sum_{k=1}^{⌊\frac{n}{d}⌋} \mu(k)⌊\frac{n}{kd}⌋⌊\frac{m}{kd}⌋ \]然后我们就可以计算了。
时间复杂度\(O(n\sqrt n)\)。
Code
//[NOI2010]能量采集 #include <algorithm> #include <cstdio> using std::min; using std::swap; typedef long long lint; int const N=1e5+10; int n,m; int mu ,pre ; int cntP,pr ; bool notP ; void init(int n) { mu[1]=1; for(lint i=2;i<=n;i++) { if(!notP[i]) pr[++cntP]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;j<=cntP;j++) { lint x=pr[j]*i; if(x>n) break; notP[x]=true; if(i%pr[j]) mu[x]=-mu[i]; else {mu[x]=0; break;} } } for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]+mu[i]; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m) swap(n,m); init(m); lint ans=0; for(int g=1;g<=n;g++) { int n0=n/g,m0=m/g; lint res=0; for(int L=1,R;L<=n0;L=R+1) { int v1=n0/L,v2=m0/L; R=min(n0/v1,m0/v2); res+=1LL*v1*v2*(pre[R]-pre[L-1]); } ans+=res*g; } printf("%lld\n",ans*2-1LL*n*m); return 0; }
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