[HNOI2018]道路(DP)
题目描述
W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有n−1n - 1n−1 个城市和nnn 个乡村,其中城市从111 到n−1n - 1n−1 编号,乡村从111 到nnn 编号,且111 号城市是首都。道路都是单向的,本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市,恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市i, 通向该城市的道路(公路或铁路)的起点,要么是一个乡村,要么是一个编号比iii 大的城市。 没有道路通向任何乡村。除了首都以外,从任何城市或乡村出发只有一条道路;首都没有往 外的道路。从任何乡村出发,沿着唯一往外的道路走,总可以到达首都。
W 国的国王小 W 获得了一笔资金,他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限,小 W 只能翻修n−1n - 1n−1 条道路。小 W 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路,即从公路和铁 路中选择一条并进行翻修。小 W 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利,于是根据人口调 查的数据,小 W 对每个乡村制定了三个参数,编号为iii 的乡村的三个参数是aia_iai ,bib_ibi 和cic_ici 。假设 从编号为iii 的乡村走到首都一共需要经过xxx 条未翻修的公路与yyy 条未翻修的铁路,那么该乡村 的不便利值为
ci⋅(ai+x)⋅(bi+y)c_i \cdot (a_i + x) \cdot (b_i + y)ci⋅(ai+x)⋅(bi+y)
在给定的翻修方案下,每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。 翻修n−1n - 1n−1 条道路有很多方案,其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案,小 W 自然 希望找到最优翻修方案,请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。
输入输出格式
输入格式:第一行为正整数nnn 。
接下来n−1n - 1n−1 行,每行描述一个城市。其中第iii 行包含两个数si,tis_i,t_isi,ti 。sis_isi 表示通向第iii 座城市 的公路的起点,tit_iti 表示通向第i座城市的铁路的起点。如果si>0s_i > 0si>0 ,那么存在一条从第sis_isi 座城 市通往第iii 座城市的公路,否则存在一条从第−si-s_i−si 个乡村通往第i座城市的公路;tit_iti 类似地,如 果ti>0t_i > 0ti>0 ,那么存在一条从第tit_iti 座城市通往第i座城市的铁路,否则存在一条从第−ti-t_i−ti 个乡村通 往第iii 座城市的铁路。
接下来nnn 行,每行描述一个乡村。其中第i行包含三个数ai,bi,cia_i,b_i,c_iai,bi,ci ,其意义如题面所示。
输出格式:输出一行一个整数,表示最优翻修方案的不便利值。
输入输出样例
输入样例#1:复制6 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1输出样例#1:复制54输入样例#2:复制9 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 7 -7 8 -8 -1 -9 1 60 1 1 60 1 1 60 1 1 60 1 1 60 1 1 60 1 1 60 1 1 60 1 1 60 1输出样例#2:复制548输入样例#3:复制12 2 4 5 3 -7 10 11 9 -1 6 8 7 -6 -10 -9 -4 -12 -5 -2 -3 -8 -11 53 26 491 24 58 190 17 37 356 15 51 997 30 19 398 3 45 27 52 55 838 16 18 931 58 24 212 43 25 198 54 15 172 34 5 524输出样例#3:复制5744902说明
【样例解释 1】
如图所示,我们分别用蓝色、黄色节点表示城市、乡村;用绿色、红色箭头分别表示 公路、铁路;用加粗箭头表示翻修的道路。
一种不便利值等于54的方法是:翻修通往城市2和城市5的铁路,以及通往其他城市的 公路。用→和⇒表示公路和铁路,用∗→和∗⇒表示翻修的公路和铁路,那么:
编号为1的乡村到达首都的路线为:-1 ∗→ 3 ⇒ 1,经过0条未翻修公路和1条未翻修铁 路,代价为3 × (1 + 0) × (2 + 1) = 9;
编号为2的乡村到达首都的路线为:-2 ⇒ 3 ⇒ 1,经过0条未翻修公路和2条未翻修铁 路,代价为2 × (1 + 0) × (3 + 2) = 10;
编号为3的乡村到达首都的路线为:-3 ∗→ 4 → 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路,代价为3 × (2 + 1) × (1 + 0) = 9;
编号为4的乡村到达首都的路线为:-4 ⇒ 4 → 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和1条未翻 修铁路,代价为1 × (2 + 1) × (3 + 1) = 12;
编号为5的乡村到达首都的路线为:-5 → 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路,代价为2 × (3 + 1) × (1 + 0) = 8;
编号为6的乡村到达首都的路线为:-6 ∗⇒ 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1,经过0条未翻修公路和0条未翻修铁路,代价为1 × (3 + 0) × (2 + 0) = 6;总的不便利值为9 + 10 + 9 + 12 + 8 + 6 = 54。可以证明这是本数据的最优解。
【样例解释 2】
在这个样例中,显然应该翻修所有公路。
【数据范围】 一共20组数据,编号为1 ∼ 20。 对于编号≤4\le 4≤4 的数据,n≤20n \le 20n≤20 ;
对于编号为5 ∼ 8的数据,ai,bi,ci≤5a_i,b_i,c_i \le 5ai,bi,ci≤5 ,n≤50n \le 50n≤50 ;
对于编号为9 ∼ 12的数据,n≤2000n \le 2000n≤2000 ;
对于所有的数据,n≤20000n \le 20000n≤20000 ,1≤ai,bi≤601 \le a_i,b_i \le 601≤ai,bi≤60 ,1≤ci≤1091 \le c_i \le 10^91≤ci≤109 ,si,tis_i,t_isi,ti 是[−n,−1]∪(i,n−1][-n,-1] \cup (i,n - 1][−n,−1]∪(i,n−1] 内的整数,任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。
本以为必有高论。
有个鬼啊!
普及DP入门题套一个废话极多的题面就往HNOI里出。
不想多说。
下面是考场程序,数据分治都没删,把数组范围改一下就A了,考场20,无语。
#include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (register int i=l; i<=r; i++) typedef long long ll; using namespace std; const int N=40010; const ll inf=100000000000000000; int n,x,y,fa ,w ,l1 ,l2 ,ch [2],a ,b ,c ; ll ans,f[N>>1][41][41]; void jud(){ ll res=0; rep(i,0,n-1){ int x=0,y=0; for (int t=i+n; fa[t]; t=fa[t]){ if (w[t]==0) x++; if (w[t]==2) y++; } res+=1ll*c[n+i]*(a[n+i]+x)*(b[n+i]+y); } ans=min(ans,res); } void dfs(int dq){ if (dq==n) { jud(); return; } w[ch[dq][0]]^=1; dfs(dq+1); w[ch[dq][0]]^=1; w[ch[dq][1]]^=1; dfs(dq+1); w[ch[dq][1]]^=1; } void get(int x){ if (!ch[x][0]) return; l1[ch[x][0]]=l1[x]+1; l2[ch[x][0]]=l2[x]; l1[ch[x][1]]=l1[x]; l2[ch[x][1]]=l2[x]+1; get(ch[x][0]); get(ch[x][1]); } ll get(int x,int i,int j){ return (ch[x][0]) ? f[x][i][j] : 1ll*c[x]*(a[x]+i)*(b[x]+j); } void DP(int x){ if (!ch[x][0]) return; DP(ch[x][0]); DP(ch[x][1]); rep(i,0,l1[x]) rep(j,0,l2[x]) f[x][i][j]=min(get(ch[x][0],i,j)+get(ch[x][1],i,j+1),get(ch[x][0],i+1,j)+get(ch[x][1],i,j)); } int main(){ freopen("road.in","r",stdin); freopen("road.out","w",stdout); scanf("%d",&n); if (n<=20){ rep(i,1,n-1){ scanf("%d%d",&x,&y); if (x<=0) x=-x+n-1; if (y<=0) y=-y+n-1; ch[i][0]=x; ch[i][1]=y; fa[x]=fa[y]=i; w[x]=0; w[y]=2; } rep(i,0,n-1) scanf("%d%d%d",&a[n+i],&b[n+i],&c[n+i]); ans=inf; dfs(1); printf("%lld\n",ans); }else{ rep(i,1,n-1){ scanf("%d%d",&x,&y); if (x<=0) x=-x+n-1; if (y<=0) y=-y+n-1; ch[i][0]=x; ch[i][1]=y; fa[x]=fa[y]=i; w[x]=0; w[y]=2; } rep(i,0,n-1) scanf("%d%d%d",&a[n+i],&b[n+i],&c[n+i]); get(1); DP(1); printf("%lld\n",f[1][0][0]); } return 0; }
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