bzoj 3451 Normal

Description

某天WJMZBMR学习了一个神奇的算法：树的点分治！

这个算法的核心是这样的：

消耗时间=0

Solve(树 a)

消耗时间 += a 的 大小

如果 a 中 只有 1 个点

退出

否则在a中选一个点x，在a中删除点x

那么a变成了几个小一点的树，对每个小树递归调用Solve

我们注意到的这个算法的时间复杂度跟选择的点x是密切相关的。

如果x是树的重心，那么时间复杂度就是O(nlogn)

但是由于WJMZBMR比较傻逼，他决定随机在a中选择一个点作为x！

Sevenkplus告诉他这样做的最坏复杂度是O(n^2)

但是WJMZBMR就是不信><。。。

于是Sevenkplus花了几分钟写了一个程序证明了这一点。。。你也试试看吧^^

现在给你一颗树，你能告诉WJMZBMR他的傻逼算法需要的期望消耗时间吗？（消耗时间按在Solve里面的那个为标准）

题面

Solution

考虑一个点会被算入贡献几次,假如我们构出了一棵点分树,那么就贡献了 \(dep\) 次

那么我们考虑任意一个点对 \((x,y)\), 只有 \(y\) 在点分树上是 \(x\) 的父亲,才对 \(x\) 有 \(1\) 的贡献

并且 \(y\) 在点分树上是 \(x\) 的父亲的条件是 在原树中 \((x,y)\) 这条路径上的任意一个点都没有在分治到 \(y\) 之前被分治到

又因为一个点被随机的概率是均等的,则可以得出 \(y\) 对 \(x\) 有 \(1\) 的贡献的概率是 \(\frac{1}{dis(x,y)}\)

所以原问题转化为求 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\frac{1}{dis(x,y)}\)

这个可以用点分治实现

设 \(t[i]\) 表示路径长度为 \(i\) 的点的数量

\(t[i]=\sum_{j=1}^{i}t[i]*t[i-j]\)

这是一个卷积的形式,可以用 \(FFT\) 优化

复杂度 \(O(n*log^2n)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef complex<double> dob;
const int N=240005;const double pi=acos(-1.0);
int n,nxt[N<<1],to[N<<1],num=0,head
,rt;
int son
={N},sz
,sum;bool vis
;
inline void link(int x,int y){nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;}
inline void getroot(int x,int last){
sz[x]=1;son[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int u=to[i];if(u==last || vis[u])continue;
getroot(u,x);
sz[x]+=sz[u];son[x]=max(son[x],sz[u]);
}
son[x]=max(son[x],sum-sz[x]);
if(son[x]<son[rt])rt=x;
}
int st
,top=0,t
,s
,h
,dis
;
inline void dfs(int x,int last,int val){
s[val]++;st[++top]=x;dis[x]=val;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int u=to[i];if(u==last || vis[u])continue;
dfs(u,x,val+1);
}
}
namespace FFT{
int n,L=0,R
;
inline void FFT(dob *A,int o){
for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(A[i],A[R[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
dob wn(cos(pi/i),sin(pi/i*o)),x,y;
for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
dob w(1,0);
for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
x=A[j+k];y=w*A[j+k+i];
A[j+k]=x+y;A[j+k+i]=x-y;
}
}
}
}
inline void mul(dob *A,int len){
for(n=1,L=0;n<=len;n<<=1)L++;
for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
FFT(A,1);
for(int i=0;i<=n;i++)A[i]*=A[i];
FFT(A,-1);
A[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=(int)(A[i].real()/n+0.5),A[i]=0;
}
}
dob A
;
inline void calc(int x,int op,int val){
top=0;dfs(x,x,val+1);
int len=(sz[x]+1)<<1;
for(int i=1;i<=top;i++)A[dis[st[i]]]=s[dis[st[i]]];
FFT::mul(A,len);
for(int i=1;i<=len;i++)t[i]+=h[i+1]*op;
for(int i=1;i<=top;i++)s[dis[st[i]]]--;
}
inline void solve(int x){
vis[x]=1;getroot(x,x);calc(x,1,0);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int u=to[i];if(vis[u])continue;
getroot(u,x);calc(u,-1,1);
rt=0;sum=sz[u];getroot(u,x);solve(rt);
}
}
int main(){
freopen("pp.in","r",stdin);
freopen("pp.out","w",stdout);
int x,y;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);x++;y++;
link(x,y);link(y,x);
}
rt=0;sum=n;getroot(1,1);solve(rt);
double ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ans+=1.0*t[i]/i;
printf("%.4lf\n",ans);
return 0;
}