[BZOJ3503][CQOI2014]和谐矩阵
2018-04-11 16:20
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bzoj
luogu
\(n,m\le40\)
想都不要想就可以列出\(n\times m\)个方程然后跑\(O((nm)^3)\)的高斯消元。
一开始我还以为跑不过,然而。。。
\(1600\times1600\times1600\div64=64000000\)
这居然是正确的复杂度。。。
所以这题暴力就直接艹过去了。弄得我都不想写正解了
以下是暴力代码。
下面是正解。
因为上面的一个方程里面只有至多\(5\)个变量拿去跑\(O(n^3)\)的高斯消元太不划算了,我们考虑把一些方程代入其他方程里面。
考虑只对第一行设元。由于第一行的每个点要满足
\[a_{1,j} \oplus a_{1,j-1} \oplus a_{1,j+1} \oplus a_{2,j}=0\]
(越界会默认是\(0\)所以没关系的)
那么也就是
\[a_{2,j}=a_{1,j} \oplus a_{1,j-1} \oplus a_{i,j+1}\]
以此类推,这样每一个\(a_{i,j}\)都可以用\(m\)个第一行的未知量来表示。最后就只要对最后一行满足的条件(即\(a_{n,j} \oplus a_{n,j-1} \oplus a_{n,j+1} \oplus a_{n-1,j}=0\))解方程就可以了。
复杂度\(O(n^3)\)
luogu
题意
给出\(n,m\)要求构造一个\(n \times m\)的\(01\)矩阵使得每个点及其上下左右(如果有的话)的元素的异或和为\(0\)。构造出来的矩阵不能全是\(0\)。\(n,m\le40\)
sol
如何保证解出来不是全\(0\)?只要对于每个自由元都强制设成\(1\)就可以了。想都不要想就可以列出\(n\times m\)个方程然后跑\(O((nm)^3)\)的高斯消元。
一开始我还以为跑不过,然而。。。
\(1600\times1600\times1600\div64=64000000\)
这居然是正确的复杂度。。。
所以这题暴力就直接艹过去了。弄得我都不想写正解了
以下是暴力代码。
code
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<bitset> using namespace std; int gi() { int x=0,w=1;char ch=getchar(); while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar(); if (ch=='-') w=0,ch=getchar(); while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return w?x:-x; } const int N = 1605; int n,m,tot,id[45][45],sol ; bitset<N>a ; int main() { n=gi();m=gi(); for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=1;j<=m;++j) id[i][j]=++tot; for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=1;j<=m;++j) { a[id[i][j]][id[i][j]]=1; if (i>1) a[id[i][j]][id[i-1][j]]=1; if (j>1) a[id[i][j]][id[i][j-1]]=1; if (i<n) a[id[i][j]][id[i+1][j]]=1; if (j<m) a[id[i][j]][id[i][j+1]]=1; } for (int i=1;i<=tot;++i) { if (!a[i][i]) { for (int j=i+1;j<=tot;++j) if (a[j][i]) {swap(a[i],a[j]);break;} } for (int j=i+1;j<=tot;++j) if (a[j][i]) a[j]^=a[i]; } for (int i=tot;i;--i) { sol[i]=a[i][tot+1]; for (int j=tot;j>i;--j) if (a[i][j]) sol[i]^=sol[j]; if (!a[i][i]) sol[i]=1; } for (int i=1;i<=n;++i,puts("")) for (int j=1;j<=m;++j) printf("%d ",sol[id[i][j]]); return 0; }
下面是正解。
因为上面的一个方程里面只有至多\(5\)个变量拿去跑\(O(n^3)\)的高斯消元太不划算了,我们考虑把一些方程代入其他方程里面。
考虑只对第一行设元。由于第一行的每个点要满足
\[a_{1,j} \oplus a_{1,j-1} \oplus a_{1,j+1} \oplus a_{2,j}=0\]
(越界会默认是\(0\)所以没关系的)
那么也就是
\[a_{2,j}=a_{1,j} \oplus a_{1,j-1} \oplus a_{i,j+1}\]
以此类推,这样每一个\(a_{i,j}\)都可以用\(m\)个第一行的未知量来表示。最后就只要对最后一行满足的条件(即\(a_{n,j} \oplus a_{n,j-1} \oplus a_{n,j+1} \oplus a_{n-1,j}=0\))解方程就可以了。
复杂度\(O(n^3)\)
code
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<bitset> using namespace std; int gi() { int x=0,w=1;char ch=getchar(); while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar(); if (ch=='-') w=0,ch=getchar(); while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return w?x:-x; } const int N = 45; int n,m,ans ; bitset<45>a ,b ; int main() { n=gi();m=gi(); for (int j=1;j<=m;++j) a[1][j][j]=1; for (int i=2;i<=n;++i) for (int j=1;j<=m;++j) a[i][j]=a[i-1][j-1]^a[i-2][j]^a[i-1][j]^a[i-1][j+1]; for (int j=1;j<=m;++j) b[j]=a [j-1]^a[n-1][j]^a [j]^a [j+1]; for (int i=1;i<=m;++i) { if (!b[i][i]) { for (int j=i+1;j<=m;++j) if (b[j][i]) {swap(b[i],b[j]);break;} } for (int j=i+1;j<=m;++j) if (b[j][i]) b[j]^=b[i]; } for (int i=m;i;--i) { ans[1][i]=0; for (int j=m;j>i;--j) if (b[i][j]) ans[1][i]^=ans[1][j]; if (!b[i][i]) ans[1][i]=1; } for (int i=2;i<=n;++i) for (int j=1;j<=m;++j) ans[i][j]=ans[i-1][j-1]^ans[i-2][j]^ans[i-1][j]^ans[i-1][j+1]; for (int i=1;i<=n;++i,puts("")) for (int j=1;j<=m;++j) printf("%d ",ans[i][j]); return 0; }
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