数论题目入门 基础积攒

基本性质

若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
结合律：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
    ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）交换律：(a + b) % p = (b+a) % p （7）
    (a * b) % p = (b * a) % p （8）分配律：(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （13）
费马小定理：1）先了解一下'≡'的含义：同余符号两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作a≡b(mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如26≡14(mod 12)。


快速幂题目：
求1-m/n*n即(n*n-m)/n*n，mod N的值。N=99999999。提示：x^(p-1)≡1%p，则x^(-1)≡x^(p-2)%p，x^(-1)与x^(p-2)同余

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=99999999;

ll fast(ll a,ll b){
ll res=1;
while(b){
if(b&1)res=a*res%mod;  //if(b%2==1)
b>>=1;  //b/=2;
a=a*a%mod;
}
return res;
}

int main(){
ll n,m;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
ll ans=n*n-m;
ans=(ans*fast(n*n,mod-2))%mod;
printf("%lld\n",ans);
}

快速幂思想：求a的b次方
  求指数位置上的二进制位，当 当前二进制位为1，则把需要乘的a的2^k次方乘到变量ans上；
a*=a；//不停的求下一位二进制位的权重  a^1...^2...^4....^8...
模版：while(b){
if(b&1) ans=a*ans%mod;
b>>=1;
a=a*a%mod;
}