相机成像原理、运动学、动力学模型

文章为本人原创，转载请注明出处，谢谢。一、运动学模型1.非完全性约束是指系统在广义速度上收到的约束，不能通过积分转变为广义位置的约束，即，系统存在速度、加速度等约束，所以非完全性约束也被称为运动约束。2.欠驱动系统：就是系统输入控制量的数目少于系统本身自由度的系统，此时，系统微分方程不仅含有不可积的速度项，还会出现不可积的加速度项。3.机器人运动学模型：假设一阶非完整性限制的轮式机器人在惯性坐标系下的坐标为，速度分量为，表示链接两个后轮的轮轴中心，为机器人的方向角，表示机器人的线速度，表示机器人的角速度，和在运动学模型中是控制输入，则可以得到运动学方程为：二、动力学模型轮式移动机器人的左右两个后轮各由一个电机驱动产生控制力矩，如果两个电机的转速不同，则左右两个后轮会产生“差动”，从而实现转弯。设机器人的重心前向驱动力为，力矩为，机器人的质量和惯性为和，则可以得到一阶非完整性机器人的动力学方程：  路径跟踪控制的误差动力学模型包含三种建模方法：1.基于机器人载体坐标系建立误差动力学2.基于参考点坐标系建立误差动力学3.基于极坐标系建立误差动力学首先讲基于机器人载体坐标系建立误差动力学。假设在惯性坐标系下机器人的坐标为,参考机器人的坐标为,跟踪误差坐标在载体坐标系下的坐标为,通过载体坐标系旋转变换以及图3-7的几何关系可以得到位姿误差在载体坐标系下的描述为：其中。进一步可得误差向量的表达式为：假设机器人的速度向量为，参考机器人的速度向量为,可得到误差动力学：再讲基于参考点坐标系建立误差动力学，与基于机器人载体坐标系建立误差动力学类似，可以得到结论：最后讲基于极坐标系建立误差动力学如图3-9所示，为移动机器人与参考目标机器人之间的误差距离，为机器人主轴与误差距离向量之间的角度差，笛卡尔坐标系下的跟踪误差向量可以转化为极坐标系下的跟踪误差向量,由此定义可得：差分之后得：三、相机模型1.关于旋转以下开始介绍欧式变换、旋转矩阵、变换矩阵、齐次坐标这些概念对相机的建模至关重要。相机运动是一个刚体运动，它保证了同一向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化，这种变换被称为欧式变换。考虑一个纯旋转运动，设某个单位正交基经过一次旋转变成了，再假设有一向量在两个坐标系下的坐标为以及则：等式两边同时左乘，则：定义为旋转矩阵，从上述推导可知旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵，所以可以定义特殊正交群：欧式变换中还有平移变换，用字母来表示平移向量，则假设向量经过一次旋转变换和一次平移变换，则可以用下式表示变换后的向量：介绍完旋转和平移之后，其实已经可以从数学上表达运动，但是如果进行两次变换，呈现出的将是非线性关系，因此需要引入变换矩阵和齐次坐标：通过添加最后一维，形成齐次坐标，其中被称为变换矩阵，依靠变换矩阵和齐次坐标，如果进行了两次变换，它们累加形式就变成如下形式：变换矩阵这类矩阵也被称为特殊欧式群: 2.相机模型相机模型的建立主要是能够明白像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、物体坐标系之间的关系。首先从像素和图像之间的关系说起，设某点P的像素坐标为，图像坐标为，其实像素坐标系与图像平面坐标系之间，相差了一个缩放和一个原点的平移，可以按照图1分别建立坐标系，蓝色的框代表一张图片，蓝色大圆点代表点P在图像坐标系中的位置。图1 像素坐标系与图像坐标系图假设像素坐标在轴上缩放了倍，在上缩放了倍，同时平移了，由图1可以得到图像坐标和像素坐标之间的关系为：接下来考虑图像坐标和相机坐标之间的关系，设点P在相机坐标下的坐标为，设为相机的焦距，根据小孔成像原理可得：有了这个关系之后，可以直接将像素坐标和相机坐标相关联：进一步引入齐次坐标可得：也可以更常用的形式：其中的就是相机的内参数矩阵。至此可以得到像素坐标（2D）和相机坐标（3D）之间的关系，如果再假设存在一个物体坐标系，点P在其中的坐标为。相机坐标系和物体坐标系是在同一个空间中的坐标系（有的地方称为世界坐标系），所以相机坐标系通过旋转和平移就能得到物体坐标系，同时得到某点相机坐标在物体坐标系下的坐标，下面给出相机坐标和物体坐标的关系：在相机坐标和物体坐标的关系中应该注意到：·由于涉及变换矩阵，则是齐次坐标，因此的只取前三维（第四维等于1）。至此像素坐标和物体坐标之间的关系已经得到了： 3.畸变由于相机前会加入透镜，从而产生畸变现象，畸变可以分为：桶形畸变（图片往里弯）和枕形畸变（图片往外弯）。假设点P是相机平面上的点，坐标为，归一化之后得到,再转换成极坐标形式，表示点P和坐标系原点的距离，表示与水平轴的夹角。现定义径向畸变和切向畸变。径向畸变可看做是其距离原点的长度发成了变化，可以用下式来纠正：切向畸变可以认为是水平夹角发生了变化，可以用下式来纠正：因此总畸变方程为：有畸变的相机投影到像素平面得到正确的像素坐标为：四、机器人-相机-目标模型1