最大上升子序列（动态规划）

部分参考点击打开链接【题目描述】给定N个数，求这N个数的最长上升子序列的长度。【样例输入】72 5 3 4 1 7 6【样例输出】4最大上升子序列就是在一段序列内求出一段严格上升的子序列（即后一位一定大于前一位，不能存在等于的情况）2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长的长度是4.
                              


最大下降子序列与其定义相反。首先，我们先介绍较慢O（n2）的方法。我们记num为到这个数为止，最长上升子序列的长度。
                        


这种方法就是每一次寻找“可以接下去的”，换句话说，设原序列为a，则当aj<ai(j<i)aj<ai(j<i)且numj+1>numinumj+1>numi时，numi=numj+1numi=numj+1。对于每一个数，他都是在“可以接下去”的中，从前面的最优值+1转移而来。因此，这个算法是可以求出正确答案的。复杂度很明显，外层i枚举每个数，内层j枚举目前i的最优值，即O（n2n2）。 那么，有没有更快的方法呢？当然有。这回要用到二分。我们回想一下，在上面O（n2n2）的程序中，哪些地方看起来比较费时？没错，就是内层用于更新i的循环。因为每一次他都要查找一遍，效率并不高。回到题目，我们发现，他只要我们求长度，所以？我们可以模拟一个栈。所以每遇到一个比栈顶元素大的数，就放进栈里，遇到比栈顶元素小的就二分查找前边的元素，找到一个“最应该被换掉的元素”，用新数去更新前边的元素。这个算法不难证明也是正确的。因为前面每一次的枚举都换成了二分，内层的复杂度从nn降到了log2log2，外层不变。所以总的复杂度是O(nlog2nnlog2n)。接下来，我先给出朴素算法的代码。

#include<cstdio>
const int MAX=1001;
int a[MAX];
int lis(int x)
{
int num[MAX];
for(int i=0;i<x;i++)
{
num[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(a[j]<a[i]&&num[j]+1>num[i])
num[i]=num[j]+1;
}
}
int maxx=0;
for(int i=0;i<x;i++)
if(maxx<num[i])
maxx=num[i];
return maxx;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
return !printf("%d\n",lis(n));
}

这个则是二分算法的代码：#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=200001;

int a[MAXN];
int d[MAXN];

int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
d[1]=a[1];
int len=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(a[i]>d[len])
d[++len]=a[i];
else
{
int j=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
d[j]=a[i];
}
}
printf("%d\n",len);
return 0;
}如果理解了，可以做一下下面的一个例题：

秋天到了，CUGBACMCUGBACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一个有NN个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？ 

Input

Line 1： N(2≤N≤1000)N(2≤N≤1000) 景点数 
Line 2： NN个整数，每个景点的海拔

Output

最多能浏览的景点数

Sample Input

8
186 186 150 200 160 130 197 220

Sample Output

4

题解：该题首先需要遍历一遍所有景点，将遍历的节点作为最高点，求其从左至右求其最长上升子序列，从右至左求其最长下降子序列。最后两者加和减去公共部分的最高点就是答案。#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, i, j, k, a[1001], f[1001] = { 0 }, g[1001] = { 0 }, m1, m2;
cin >> n;
for (i = 0; i<n; ++i)
cin >> a[i];
for (i = 0; i<n; ++i)//最外层是遍历所有景点，将其作为最高点
{
f[i] = 1;

for (j = 0; j<i; ++j)//求最长上升子序列
if (a[j]<a[i] && f[j]+1>f[i])//f[j]严格小于f[i]，并且若加上f[j]大于f[i]则更新f[i]
f[i] = f[j] + 1;//f[i]代表的是到i为止，最长子序列的长度
}
for (i = n - 1; i >= 0; --i)
{
g[i] = 1;
for (k = n - 1; k > i; --k)//求最长下降子序列
if (a[k]<a[i] && g[k] + 1>g[i])//原理同上
g[i] = g[k] + 1;
}
m1 = 0;
for (i = 0; i<n; ++i)
{
if (f[i] + g[i] - 1>m1)m1 = f[i] + g[i] - 1;

}
cout << m1 << endl;

return 0;