[AH2017/HNOI2017]礼物

给定两个序列A={a1..an},B={b1..bn};

支持对序列B进行两种操作

1 整体右移 bi变成bi+1 bn变成b1

2 整体加c

最小化sigma{ (ai-bi)²}

如果只有整体加c操作。

即为 最小化sigma{ (ai-bi+c)²}的值。

解得sigma xi + sigma yi - sigma 2xiyi +元素个数*c²+ 2(sigma yi - sigma xi) *c

其中前面部分为定值 后面部分为关于c的二次函数

题目转化为通过右移操作最大化sigma 2xiyi的值

即最大化 sigma xi * y(i+k) 0<=k＜n

这个显然可转化为卷积的形式。因为是右移操作。所以我们需要倍长y。然后翻转x。FFT求出卷积后找出最大值后代入计算。

因为c是整数 所以二次函数求顶点后需要在左右和自身三个点之间试，求出最小值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double Pi=acos(-1);
const int MAXN=4e5+5;

struct cp{
double x,y;
cp(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[MAXN],b[MAXN];

cp operator +(cp a,cp b){
return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);
}

cp operator -(cp a,cp b){
return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);
}

cp operator *(cp a,cp b){
return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+b.x*a.y);
}

int l,r[MAXN],limit=1,n,m;

void FFT(cp *A,int ty){
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
cp Wn(cos(Pi/mid),ty*sin(Pi/mid));
int R=mid<<1;
for(int j=0;j<limit;j+=R){
cp W(1,0);
for(int k=0;k<mid;k++){
cp x=A[j+k],y=W*A[j+k+mid];
A[j+k]=x+y;
A[j+k+mid]=x-y;
W=W*Wn;
}
}
}
}

double tmp[MAXN];
#define ll long long
int cx=0;
ll ans=0,sumx=0,sumy=0;

int main(){
//  freopen("gift20.in","r",stdin);
//  freopen("txt.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);n--;
for(int i=0;i<=n;i++){
scanf("%lf",&a[n-i].x);
ans+=(ll)(a[n-i].x*a[n-i].x);
sumx+=(ll)a[n-i].x;
}
for(int i=0;i<=n;i++){
scanf("%lf",&b[i].x);
b[n+1+i].x=b[i].x;
ans+=(ll)(b[i].x*b[i].x);
sumy+=(ll)b[i].x;
}
cx=(sumx-sumy)/(n+1);
ll qsum=1e9+7;
for(int i=-1;i<=1;i++){
int tmp=cx+i;
qsum=min(qsum,(n+1)*tmp*tmp-2*sumx*tmp+2*sumy*tmp);
}
while(limit<=n+n)limit<<=1,l++;
for(int i=0;i<limit;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
FFT(a,1);FFT(b,1);
for(int i=0;i<=limit;i++)a[i]=a[i]*b[i];
FFT(a,-1);
int maxx=0;
for(int i=n;i<=n+n;i++)maxx=max(maxx,(int)(a[i].x/limit+0.5));
cout<<(int)(ans+qsum-2*maxx)<<endl;
return 0;
}