【BZOJ4540】【HNOI2016】序列(莫队)
2018-03-31 22:05
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【BZOJ4540】【HNOI2016】序列(莫队)
题面
BZOJ洛谷
Description
给定长度为n的序列:a1,a2,…,an,记为a[1:n]。类似地,a[l:r](1≤l≤r≤N)是指序列:al,al+1,…,ar-1,ar。若1≤l≤s≤t≤r≤n,则称a[s:t]是a[l:r]的子序列。现在有q个询问,每个询问给定两个数l和r,1≤l≤r
≤n,求a[l:r]的不同子序列的最小值之和。例如,给定序列5,2,4,1,3,询问给定的两个数为1和3,那么a[1:3]有
6个子序列a[1:1],a[2:2],a[3:3],a[1:2],a[2:3],a[1:3],这6个子序列的最小值之和为5+2+4+2+2+2=17。
Input
输入文件的第一行包含两个整数n和q,分别代表序列长度和询问数。接下来一行,包含n个整数,以空格隔开,第i个整数为ai,即序列第i个元素的值。接下来q行,每行包含两个整数l和r,代表一次询问。
Output
对于每次询问,输出一行,代表询问的答案。Sample Input
5 55 2 4 1 3
1 5
1 3
2 4
3 5
2 5
Sample Output
2817
11
11
17
HINT
1 ≤N,Q ≤ 100000,|Ai| ≤ 10^9题解
我其实本来不想写莫队来着但是在网上找题解都是莫队
无奈。。。我也写莫队。。
莫队的重点就在于怎么\(O(1)\)转移状态
假设我们已经求出了\([L+1,R]\)的答案
现在要扩展到\([L,R]\)
考虑新产生的\([L..L],[L..L+1]...,[L...R]\)的答案
我们先找到这段区间的最小值,假设其位置是\(p\)
那么右端点在\([p,R]\)的子序列的贡献都是\(a[p]\)
接下来呢?把\([L,p-1]\)继续考虑?
但是我们要做到转移\(O(1)\),所以考虑怎么优化
我们设\(f[i]\)表示确定左端点为\(i\)时,到后面所有位置的贡献
利用单调栈求出右侧第一个比\(i\)位置小的数的位置\(R[i]\)
\([i,R[i]-1]\)的贡献就是\(a[i]\),而\([R[i],n]\)的贡献则与\(i\)无关,
只与\(R[i]\)有关,因此,我们得到转移
\[f[i]=f[R[i]]+(R[i]-i)*a[i]\]
所以,此时\([L,p)\)的贡献就是\(f[L]-f[p]\)
考虑右侧的贡献同理
综上,时间复杂度\(O(n\sqrt{n})\)
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set> #include<map> #include<vector> #include<queue> using namespace std; #define ll long long #define RG register #define MAX 111111 inline int read() { RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')t=-1,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*t; } int n,q,blk; int L[MAX],R[MAX],S[MAX],top,a[MAX],lg[MAX]; ll f[MAX],g[MAX],ans[MAX],Ans; struct Query{int i,l,r,blk;}Q[MAX]; bool operator<(Query a,Query b){if(a.blk!=b.blk)return a.blk<b.blk;return a.r<b.r;} struct STable { int p[18][MAX]; void pre() { for(int j=1;j<=lg ;++j) for(int i=1;i+(1<<(j-1))<=n;++i) p[j][i]=a[p[j-1][i]]<=a[p[j-1][i+(1<<(j-1))]]?p[j-1][i]:p[j-1][i+(1<<(j-1))]; } int Query(int l,int r) { int k=lg[r-l+1]; return a[p[k][l]]<=a[p[k][r-(1<<k)+1]]?p[k][l]:p[k][r-(1<<k)+1]; } }ST; ll CalcL(int l,int r) { int p=ST.Query(l,r); return 1ll*(r-p+1)*a[p]+g[l]-g[p]; } ll CalcR(int l,int r) { int p=ST.Query(l,r); return 1ll*(p-l+1)*a[p]+f[r]-f[p]; } int main() { n=read();q=read();blk=sqrt(n); for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(); for(int i=1;i<=n;++i) { while(top&&a[S[top]]>a[i])--top; L[i]=S[top]; S[++top]=i; } for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=f[L[i]]+1ll*(i-L[i])*a[i]; S[top=0]=n+1; for(int i=n;i;--i) { while(top&&a[S[top]]>a[i])--top; R[i]=S[top]; S[++top]=i; } for(int i=n;i>=1;--i)g[i]=g[R[i]]+1ll*(R[i]-i)*a[i]; for(int i=1;i<=q;++i) { int l=read(),r=read(); Q[i]=(Query){i,l,r,(l-1)/blk}; } for(int i=1;i<=n;++i)ST.p[0][i]=i; for(int i=2;i<=n;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1; ST.pre(); sort(&Q[1],&Q[q+1]); for(int i=1,L=1,R=0;i<=q;++i) { while(R<Q[i].r)Ans+=CalcR(L,++R); while(L>Q[i].l)Ans+=CalcL(--L,R); while(R>Q[i].r)Ans-=CalcR(L,R--); while(L<Q[i].l)Ans-=CalcL(L++,R); ans[Q[i].i]=Ans; } for(int i=1;i<=q;++i)printf("%lld\n",ans[i]); return 0; }
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