bzoj 1042: [HAOI2008]硬币购物（DP+容斥）

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思路

简单的容斥。

如果没有限制，就是个完全背包。

有限制，答案就是无限制-超限1个+超限两个-超限三个+超限四个。没错这就是小学学过的容斥。

有一个公式，若

f(S)=∑T⊇Sg(T)

则

g(S)=∑T⊇S(−1)|T|−|S|f(T)

在这题里，f(S)表示集合S里的硬币超限，其他随便的方案数，g(S)表示只有集合S超限的方案数。听说这货还有一个厉害的名字：子集反演。

要求的是g(∅)。于是用f去算。f(S)就是强行让S中的硬币先取d[i]+1个然后随便取的方案，随便取的方案通过完全背包提前算出。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100100

using namespace std;
typedef long long LL;

int c[5], d[5], s, tot;
LL f[maxn], g[maxn];

int main(){

for(int i = 1; i <= 4; i++)  scanf("%d", &c[i]);
scanf("%d", &tot);

f[0] = 1LL;
for(int i = 1; i <= 4; i++)
for(int j = c[i]; j < maxn; j++)
f[j] += f[j-c[i]];

while(tot --){

for(int i = 1; i <= 4; i++)  scanf("%d", &d[i]);
scanf("%d", &s);

LL ans = 0LL;
for(int i = 0; i < (1<<4); i++){
int cnt = 0, rest = s;
for(int j = 1; j <= 4; j++)
if((1<<(j-1)) & i)  rest -= c[j] * (d[j] + 1), cnt ++;

if(rest < 0)  continue;

if(cnt & 1)  ans -= f[rest];
else  ans += f[rest];
}
printf("%lld\n", ans);
}

return 0;
}