【LightOJ - 1278】 Sum of Consecutive Integers 【简单公式变形-算数基本定理】

Given an integer N, you have to find the number of ways you can express N as sum of consecutive integers. You have to use at least two integers.

For example, N = 15 has three solutions, (1+2+3+4+5), (4+5+6), (7+8).

Input

Input starts with an integer T (≤ 200), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer N (1 ≤ N ≤ 1014).

Output

For each case, print the case number and the number of ways to express N as sum of consecutive integers.

Sample Input

5

10

15

12

36

828495

Sample Output

Case 1: 1

Case 2: 3

Case 3: 1

Case 4: 2

Case 5: 47

分析： 首先要求 连续序列和为n的方案数，一看到连续序列和，等差数列求和公式一定没跑。假设连续区间为[L,R] ，则根据题意：

(L+R)*(R-L+1) =2*N

令 a = (L+R)

令 b=(R-L+1)

a*b=2*N （a 和 b 我们可以枚举 2*N的因子得到 ）

我们可以解出

L=(a-b+1) /2

R=(a+b-1)/2

然后因为a和b我们可以通过枚举因子得到，然后问题就解决了，但是看了下时间复杂度，枚举因子sqrt(2*n) *T 肯定超时。

只能再化简一下了，我们要求的L和R 一定要是整数，a和b什么情况下才可以满足呢？我们发现a和b一个是偶数一个是奇数一定可以满足这个条件。

但是怎么知道 2*N可以分解为多少个 奇数*偶数呢？ 这里我们可以通过 算数基本定理来考虑，假设N*2=p1^ r1 p2^r2 p3 ^r3….pk^rk （分解整数的时间复杂度为o ( n ^ ( 1 / 4 ) ) ）

要想分解为偶数*奇数，那么我们可以发现，偶数一定是由质因子2来提供的，我们把2^r 看做一个整体，从后面的部分中挑出一个因子 来和2^r组成一个数，剩下的部分为一个数字，那么前一个数一定为偶数，后一个数一定为奇数。（这里的通过质因子分解 ，来划分为两个数字，是一种组合在里面，如果不理解的话，可以找找规律）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long

const int N = (int)1e7+11;
const int M = 1e6+11;
const int mod = 1e9+7;
const int inf =0x3f3f3f3f;

bool su[N+1]={1,1,0};int prm[664579+11],sz; // prm如果也开1e7的话 会MLE
void init(){
for(LL i=2;i<N;i++){
if(!su[i]){
prm[sz++]=i;
for(LL j=i*i;j<N;j+=i){
su[j]=1;
}
}
}

// cout<<sz<<endl;
}

int main(){
init();
int cas=1;
int T ;scanf("%d",&T);
while(T--){
LL n;scanf("%lld",&n);
LL m=n;
LL a=0,b=1; n*=2;
for(LL i=0;prm[i]*1ll*prm[i]<=n&&i<sz;i++){
if(n%prm[i]==0){
int cnt=0;
while(n%prm[i]==0){
cnt++;
n/=prm[i];
}
if(i==0) {
a=cnt;
continue;
}
b*=(cnt+1);
}
}
if(n!=1) b*=2;

LL ans;
if(a==0 || 1==b) ans=1;
else ans=b;
printf("Case %d: %lld\n",cas++,ans-1);// 因为多算了 一个 （2*N ，1） 这个组合，所以要减去
}

return 0;
}