【线段树】 来自xuzihanlla “http://www.cnblogs.com/xuzihanllaa/p/8324871.html” 好写不易错

一、线段树是什么？1.我们为什么要使用线段树？如果只是为了维护一个序列本身，直接用数组就行了，不必使用线段树，就好比能用线段树的时候没必要码个treap上去。线段树的核心作用是维护一个序列的信息，当然这个信息不是什么都行，必须满足区间加法（见ZKW的PPT《统计的力量》）。e.g.可以维护区间和，区间平方和，区间方差等等（都是些基础运用）。2.线段树支持哪些操作？即便是最低级的线段树也应该支持单点修改和区间查询，或者区间修改单点查询。（如果只能单点修改单点查询还要线段树干嘛qwq）除此以外还有区间修改区间查询。3.线段树效率的本质？基于堆存储形式确保高度是O(logn)的，因此每次操作只会影响到O(logn)个结点，同时每个节点的维护工作在O(1)时间内完成（当然高级一点的树套树不必拘泥于这点）。 二、单点修改区间查询1.修改？简单！在线段树上找到要修改的下标对应的叶子结点，修改它的值，自下往上维护信息。

如图：假如要修改第三个位置的值，绿圈所标识的就是被更新的结点，易见复杂度与高度同阶O(logn)。2.查询？稍微复杂一些。从直觉上讲，我们走到一个结点时，如果已经能用O(1)时间得出这个结点在要查询区间中所做出的贡献（也就是完全被包含或无交集），那么就应该返回答案了，但是这样做复杂度能扛得住吗？

看这幅图：红色结点表示搜索过程中经过的结点，绿色结点表示搜索的末端结点，灰色结点是被忽略的结点，值得在意的事，对于每一层的被涉及的结点，可以分为两类：第一类是红色结点——它们与待查询区间有交集，但不包含，搜索到它们时会继续向下延伸到两个子结点；第二类是绿色结点——它们与待测区间是完全被包含的关系，因此搜索到这里就不继续向下了。然后由两个性质：第一个是红色结点每层至多两个，第二个是绿色结点每层至多两个。稍微想想就知道，每层的红色结点就是边上的两个（可能不到两个，但一定在边上），而相邻的3个绿色结点一定有两个可以合并为父节点，也就是上一层的绿色结点，这两个就没有存在的必要了。基于这两个性质，总共涉及到的结点数不超过4*logn个，复杂度满足O(log n)。 三、区间修改单点查询1.修改?似乎很难，但是如果我们将”二“中的区间查询用到这里，就能想出解决办法，依然如下图：

想要O(logn)地修改信息，就必须用与查询同样的方法：每碰到一个完全被包含的区间，就想办法在这个结点处记录下改动，然后返回，不碰下面的点。如何记录改动呢？这里引入标记(常称为“懒标记”，lazy tag)，标记有两种含义，看个人习惯了，我程序中的标记表示：当标记存在时，说明该结点及祖先结点都已经完成过这个改动，而子结点均没有，也就是说，打上标记的同时应该维护该结点的信息。标记为何能发挥作用呢？因为如果我没必要将信息推到最底层，就应该把它留在上面，而什么时候应该把标记下推呢？就是需要它下去，也就是当某次操作没有完全覆盖这个结点时，需要下推标记，这样做与之前就下推的区别在哪呢？就是把之前不必要的操作转化为之后必要的操作，使得每次都只做必要的操作，而必要的操作显然是O(logn)的。具体实现见附程序。2.查询？完全没有难度，只要跟单点修改一样找到结点（路上记得下推标记），然后到达叶子节点时里面存的就是要的答案了（因为所有改动都被推下来了）。 四、区间修改区间查询1.修改：同“三”中的区间修改，维护标记即可。2.查询：基本同“二”中的区间查询，只要路上记得下推标记即可。 五、几个注意事项 1.我的线段树写的是左闭右开区间，这样写的好处有——求出mid不用+-1，直接[l,mid)和[mid,r)即可；与stl的风格类似，左闭右开符合处理区间的习惯。2.离散化用于线段树时，要注意区分线段树结点的实际含义：是代表一个左闭右开区间还是左闭右闭区间？是连续的区间拼成整棵线段树还是离散的？/*

by sbn
2018-3-29
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lch(u) u<<1
#define rch(u) u<<1|1
#define For(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)<(c);(a)++)
struct node{
int l,r;
ll add,mul,sum;
node(){}
node(ll nl,ll nr,ll nsum){
l=nl;r=nr;add=0;mul=1;sum=nsum;
}
} T[400001];
ll arr[200001],n,m,p;
void add_node(int rt,ll num){
T[rt].add=(T[rt].add+num)%p;
T[rt].sum=(T[rt].sum+(T[rt].r-T[rt].l)*num)%p;
}
void mul_node(int rt,ll num){
T[rt].mul=(T[rt].mul*num)%p;
T[rt].add=(T[rt].add*num)%p;
T[rt].sum=(T[rt].sum*num)%p;
}
void pushup(int rt){
T[rt].sum=(T[lch(rt)].sum+T[rch(rt)].sum)%p;
}
void pushdown(int rt){
if (T[rt].mul!=1){
mul_node(lch(rt),T[rt].mul);
mul_node(rch(rt),T[rt].mul);
T[rt].mul=1;
}
if (T[rt].add){
add_node(lch(rt),T[rt].add);
add_node(rch(rt),T[rt].add);
T[rt].add=0;
}
}
void build(int rt,int l,int r){
if (l==r-1){
T[rt]=node(l,r,arr[l]);
return;
}
T[rt]=node(l,r,0);
build(lch(rt),l,(l+r)>>1);
build(rch(rt),(l+r)>>1,r);
pushup(rt);
}
void add(int rt,int l,int r,ll num){
int nl=T[rt].l,nr=T[rt].r;
if (l<=nl&&nr<=r){
add_node(rt,num);
return;
}
if (nl>=r||nr<=l) return;
pushdown(rt);
add(lch(rt),l,r,num);
add(rch(rt),l,r,num);
pushup(rt);
}
void mul(int rt,int l,int r,ll num){
int nl=T[rt].l,nr=T[rt].r;
if (l<=nl&&nr<=r){
mul_node(rt,num);
return;
}
if (nl>=r||nr<=l) return;
pushdown(rt);
mul(lch(rt),l,r,num);
mul(rch(rt),l,r,num);
pushup(rt);
}
ll getsum(int rt,int l,int r){
int nl=T[rt].l,nr=T[rt].r;
if (l<=nl&&nr<=r) return T[rt].sum%p;
if (l>=nr||r<=nl) return 0;
pushdown(rt);
return (getsum(lch(rt),l,r)+getsum(rch(rt),l,r))%p;
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
For(i,0,n) scanf("%lld",arr+i);
build(1,0,n);
int a,b,c;
ll d;
For(i,0,m){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if (a==3) printf("%lld\n",getsum(1,b-1,c));
else{
scanf("%lld",&d);
if (a==1) mul(1,b-1,c,d);
if (a==2) add(1,b-1,c,d);
}
}
return 0;
}