2.1递归概念 - 对排序问题、整数划分问题、汉诺塔问题的理解

递归就是自己调用自己的概念。分为两个部分：
1.结束条件（递归不能无限进行下去）
2.递归方程（这一部分很难，需要发现规律，发现规律后，还要用编程思维把递归的方法表示出来）
老师说的一句话我认为很重要：要动态的去学习递归，不要只是停留在静态的方程上（所以要手动模拟一下会理解更深）

【例2-4】排列问题：
思想：比如说123这3个数全排列，可以看成1为前缀，23全排列，2为前缀，13全排列……
而23全排列，有可以看成是以2为前缀，3全排列，3为前缀，2全排列……
前缀：前k个元素
后缀：后m+1-k个元素
for循环的含义是：
比如说数组里存的是123（位置从0到2）
那么第一次进行for循环的时候：
1与1换，递归，1与1换（这里问了一下老师，与本身换是没有意义的，但是这样写为了程序的完整性和可读性）表示1为前缀
1与2换，递归，再换回来，表示2为前缀
1与3换，递归，再换回来，表示3为前缀#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

void perm(int a[],int k,int m){
if(k==m){
for(int i=0;i<=m;i++){
printf("%d",a[i]);
}
printf("\n");
}

for(int i=k;i<=m;i++){
swap(a[i],a[k]);
perm(a,k+1,m);
swap(a[i],a[k]);
}
}

int main(){
int n;
int a[100];
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
perm(a,0,n-1);
}



【例2-5】整数的划分问题
q(i,j)的意思是，把数i划分为最大的数不超过j，有几种情况递归式:1）q(n,m)=1;n=1,m=12）q(n,m)=q(n,n);n<m3）q(n,n)=q(n,n-1)+1;n=m4） q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m);n>m>1对于4）可以看成不要最大数（q（n,m-2）），要最大的数（q（n-m,m））#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int q(int n,int m){
if(n<1||m<1){
return 0;
}
if(n==1||m==1)return 1;
if(n<m)return q(n,n);
if(n==m)return q(n,m-1)+1;
return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}

int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",q(n,n));
}
【例2-6】Hanoi塔问题
核心代码是：void hanoi(int n,int a,int b,int c){要把n个盘子，从a移到b上
if(n>0){
hanoi(n-1,a,c,b);//要把n-1个盘子，从a移到c上
move1(a,b);//把n号盘子从a移到b上
hanoi(n-1,c,b,a);//把n-1个盘子，从c移到b上
}
}
n表示要移动的盘子个数，hanoi(int n,int a,int b,int c)表示要把n个盘子，从a移到b上，c是辅助