模板总结——扩展欧几里得

背景

求不定方程ax + by = gcd(a,b)的解集。

推导过程

由欧几里得定理，可知gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).

所以ax + by = bx’ + (a mod b)y’.又因为a mod b=a - a/b * b.(/表示整除）。

所以ax + by = bx’ + （a - a/b * b)y’.整理得：

ax + by = ay’ + b(x’-a/b*y’).

对于恒等式，必有x=y’,y=x’-a/b * y’.

实现

只要随着gcd（a,b)=gcd(b,a mod b)不断递归，x=y’,y=x’-a/b*y’也不断递归即可。

递归的终止条件为b等于0，这时gcd(a,b)=a,即ax + by = a.所以x=1,y=0.

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int ret=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return ret;
}

int main()
{
int a,b,x,y;
while(cin>>a>>b)
{
int d=ex_gcd(a,b,x,y);
cout<<d<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
}
return 0;
}