卡特兰数之凸多边形的三角分割数

题意

给定一个n多边形，要求用n-3条不相交的对角线把它分成n-2个三角形。求有多少种不同的方法。

分析

为什么是n-3条不相交的对角线？

n多边形有n个顶点，依次将其编号为V1、V2、V3、…、Vn。

从V1号到V3号连线，分成一个三角形和一个（n-2)边形（因为顶点有n-3+1个）。再对（n-2)边形重新编号，并从V1号到V3号连线，如此重复，连n-3次就可以n-2个三角形。

也就是说用不相交的对角线来分割多边形为三角形，一定是n-3条线和n-2个三角形。

有多少种方法？

对于边V1Vn,任选一顶点Vk，向V1和Vn连边。将三角形V1VnVk分割出去，剩下两个多边形，一个多边形有顶点{1，2，3，…，k}，所以是k边形；另一个多边形有顶点{k，k+1,…,n}，所以是（n-k+1）边形。然后继续分割多边形直到都变成了三角形，这个过程可以用递归或递推实现。

设d(n)表示将n边形分割成三角形的方法数。

回顾下我们分割的过程：先选边V1Vn，因为编号是我们遍的，所以不管我们选哪条边，都可以看成V1Vn。选边V1Vn只有一种可能。然后选顶点Vk，Vk的取值范围为[V2，Vn-1],选顶点有n-2种可能。再递归调用d(k)和d(n-k+1)去计算。

综上，枚举k从2到n-1，累加d(k)*d(n-k+1)的值即可。

怎么去实现？

递推版：

由下及上，边界d[2]=d[3]=1,

d
=d[2]*d[n-1]+d[3]*d[n-2]+…+d[n-2]*d[2].

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;

const int maxn=25;
int d[maxn];
void catalan()
{
d[2]=d[3]=1;
for(int i=4;i<maxn;i++)
{
d[i]=0;
for(int j=2;j<=i-1;j++)
d[i]+=d[j]*d[i-j+1];
}
}
int main()
{
int n;
catalan();
while(cin>>n)
{
cout<<d
<<endl;
}
return 0;
}

递归版：

由上及下，记忆化搜索。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;

const int maxn=25;
int d[maxn],vis[maxn];
int dp(int n)
{
if(n==2||n==3) return d
=1;
if(vis
) return d
;
vis
=1;
int &ans=d
;
ans=0;
for(int i=2;i<=n-1;i++)
ans+=dp(i)*dp(n-i+1);
return ans;
}
int main()
{
int n;
memset(vis
a4ca
,0,sizeof(vis));
while(cin>>n)
{
cout<<dp(n)<<endl;
}
return 0;
}