uva11255 Necklace（polya+组合数学）

三种颜色的珠子分别有a,b,c颗，用这些珠子能串成多少种不同的环？考虑翻转同构，旋转同构。（3<=a+b+c<=40）

我们先搞出置换群G，这次不同的是我们的集合M有了限制，但不要紧，我们还是要求G中每个置换下的不动点个数的算术平均数。

先考虑旋转同构：

还是考虑有k个循环节，那么每个循环节的长度len=n/k。每个循环节内的颜色都必须相同，这也就意味着每种颜色的个数一定要是len的倍数，否则一定不存在不动点。然后问题就转化为了一共有k个位置，三种颜色各占a,b,c个位置，问有几种不同的方案，答案就是Cak∗Cbk−a∗Cck−a−b。

翻转同构：

n为奇数：n个置换，每个置换都是n/2+1个轮换，1个长度为1，其余长度均为2，所以我们可以枚举长度为1的轮换的颜色，然后计算剩余颜色的方案。

n为偶数，n个置换，其中n/2个有n/2+1个轮换，2个长度为1，其余长度均为2，所以我们可以枚举长度为1的两个轮换的颜色来计算。另外n/2个有n/2个轮换，长度均为2，直接计算即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define N 45
inline char gc(){
static char buf[1<<16],*S,*T;
if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
return *S++;
}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=gc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
return x*f;
}
int tst,a[3],b[3],n=0,prime
,phi
,tot=0;
ll C

,ans=0;bool notprime
;
inline void getC(){
for(int i=0;i<=40;++i) C[i][0]=1;
for(int i=1;i<=40;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
notprime[1]=1;phi[1]=1;
for(int i=2;i<=40;++i){
if(!notprime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;prime[j]*i<=40;++j){
notprime[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
}
inline ll calc(int len){
ll sum=0,res=1;
for(int i=0;i<3;++i){
if(b[i]%len) return 0;b[i]/=len;
sum+=b[i];
}for(int i=0;i<3;++i){
res*=C[sum][b[i]];sum-=b[i];
}return res;
}
inline void calcrotate(){
int x=1;
for(;x*x<n;++x) if(n%x==0){
memcpy(b,a,sizeof(a));ans+=calc(n/x)*phi[n/x];
memcpy(b,a,sizeof(a));ans+=calc(x)*phi[x];
}if(x*x==n) memcpy(b,a,sizeof(a)),ans+=calc(x)*phi[x];
}
inline void calcflip(){
if(n&1){
for(int i=0;i<3;++i){
if(a[i]&1==0) continue;memcpy(b,a,sizeof(a));b[i]--;
ans+=calc(2)*n;
}
}else{
for(int i=0;i<3;++i)
for(int j=0;j<3;++j){
memcpy(b,a,sizeof(a));b[i]--;b[j]--;
ans+=calc(2)*(n>>1);
}memcpy(b,a,sizeof(a));ans+=calc(2)*(n>>1);
}
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
tst=read();getC();
while(tst--){
ans=0;n=0;
for(int i=0;i<3;++i) a[i]=read(),n+=a[i];
calcrotate();calcflip();
printf("%lld\n",ans/(n<<1));
}return 0;
}