动态规划之背包问题java语言+图解

最近碰到动态规划的01背包问题，然后我就再网上四处看帖子，对于我这样的小白白来说，觉得网上的帖子写的对于新手来说，都有些晦涩难懂，于是乎，我想着用代码和图的方式来结合说明一下，有不对的，望大家及时指正。

背景：

0/1背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成0/1背包问题求解。一定要仔细体会基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

问题描述：

假设孙悟空去向观音求救，观音向孙悟空展示了五个宝物,分别为A、B、C、D、E，这五种宝物的重量分别为2吨、2吨、6吨、5吨、4吨，它们的价值分别为6法力、3法力、5法力、4法力、6法力，但是孙悟空可以拿走多个宝物，但是宝物的总重量最多为10吨。请问，孙悟空应该怎么取宝物，并在自己能够承受的重量范围之内，宝物的法力最高？

（让生活多点乐趣，跟大家画了一个精美的题目内容图解）



问题分析：

每个宝物都是独特的，都只有一份，背包有最大容量限定，然后取价值最高的最优解，这很明显就是动态规划中的一种特殊情况–背包问题。

我们可以通过简单的暴力搜索，但是如果讲到算法来说，暴力搜索的空间复杂度和时间复杂度就很糟糕了。

01背包算法–结果图解

我先直接给出结果图吧，然后我带着大家一起，从结果开始分析，我们慢慢回溯。

下面给的表格矩阵，也就是最终的结果矩阵，首先我解释一下几个变量的意思。

weight ：重量

value：法力值

content：背包容量

name：宝物的名字



01背包算法–结果图解

对比着结果，我们来推一下01背包算法的转移方程：

arr[i][j]=MAX{arr[i−1][j−weight[i−1]]+value[i−1](j>=weight[i−1]),arr[i−1][j]}arr[i][j]=MAX{arr[i−1][j−weight[i−1]]+value[i−1](j>=weight[i−1]),arr[i−1][j]}



看着转移方程，你可能会有点迷茫，我自己最初也是，但是只要你们推出来结果矩阵，那么，你就懂了。



转移算法是从矩阵的从左往右，从上往下进行遍历求解的。就是两层for循环，最外层是行循环，最内层是列循环。

敲黑板！！！你可能会发现我在这里是多设置了一行和一列的数据，并初始化为0。其实就是为了计算，因为每一个数据都需要用到上一行的数据，这也就是算法的精髓，将过去算过的结果记录下来，免去下一次的计算，老实讲，想到算法的人，前辈们真的很有智慧啊。

接下里，我举例说一下公式是怎么算数据的，我想有很多初学者肯定很蒙圈，我来跟你画出来。



在上图中，我列举出来的（D宝物行，背包容量为10列）坐标的取值过程，其它的过程同此一样。大家一定要尝试着自己手写递推一下，这样才能理解深刻！

于是乎，我给大家代码：

package travelling_bag;

public class Main {
//分别定义宝物名称、重量、法力和背包最大容量
public static String[] name = {"A","B","C","D","E"};
public static int[] weight = {2,2,6,5,4};
public static int[] value = {6,3,5,4,6};
public static int  content = 10;
//定义我们的记录矩阵,需要多一列和一行,也就是上面所给表中灰色的列,
//因为我们下面的操作会设计到i-1和j-1,所以我们在这里需要多定义一行和一列
public static int[][] arr = new int[name.length+1][content+1];

public static int[][] bag(int[] weight, int[] value, int content, int[][] arr){
for (int i = 1; i < arr.length; i++) { //行
for (int j = 1; j < arr[i].length; j++) { //列
if(j>=weight[i-1]){
arr[i][j] = arr[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1];
}
if(arr[i][j]<arr[i-1][j]){
arr[i][j]=arr[i-1][j];
}

}
}
return arr;
}
//就是定义看一下矩阵
public static void show(){
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < arr[i].length; j++) {
System.out.print(arr[i][j]+"\t");
}
System.out.println();
}
}

public static void main(String[] args) {
arr = bag(weight,value,content,arr);
show();
}

}

运行结果为:

0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
0   0   6   6   6   6   6   6   6   6   6
0   0   6   6   9   9   9   9   9   9   9
0   0   6   6   9   9   9   9   11  11  14
0   0   6   6   9   9   9   10  11  13  14
0   0   6   6   9   9   12  12  15  15  15

结果应该还是很明显的，能带走的物品最大法力值为15。