[BZOJ4870][六省联考2017]组合数问题(组合数动规)

题目实际上是要求所有kn以内的所有模k余r的数的组合数之和。对于这种余数固定的题目常常可以根据余数DP，而根据r,k范围都很小而只有n很大可以初步猜测需要用到矩阵快速幂。

那么我们设$f[i][j]=\sum\limits_{l=0}^{+\infty}C_{i}^{lk+j}$，那么可以得出f[i+j][(x+y)%k]+=f[i][x]*f[j][y]。

这样我们把f[i]看成一个行向量，就可以矩阵乘法了。复杂度$O(k^3 \log n)$

实际上还可以优化，发现f[i]之间的转移有一个非常重要的性质：转移符合交换律！这意味着我们可以直接像快速幂一样进行DP转移。复杂度$O(k^2 \log n)$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=100;
ll ans
,c
,a
,n,p,k,r,t;

void dp(ll a[],ll b[]){
for (int i=0; i<k; i++) c[i]=0;
for (int i=0; i<k; i++) for (int j=0; j<k; j++)
c[(i+j)%k]=(c[(i+j)%k]+a[i]*b[j]%p)%p;
for (int i=0; i<k; i++) a[i]=c[i];
}

int main(){
freopen("bzoj4870.in","r",stdin);
freopen("bzoj4870.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&k,&r);
ans[0]++; ans[1%k]++; a[0]++; a[1%k]++; t=n*k-1;
while (t>0){
if (t & 1) dp(ans,a);
dp(a,a); t>>=1;
}
printf("%lld\n",ans[r]);
return 0;
}