Ceres Solver 官方教程学习笔记（四）——曲线拟合Curve Fitting

本节主要依据Ceres官方指南翻译而成。

最小二乘法（least square）和非线性最小二乘分析的本来目的就是对一组数据进行曲线拟合。本节将介绍曲线拟合的问题。本节所用的采样点根据y=e0.3x+0.1y=e0.3x+0.1生成，并且加入标准差为σ=0.2σ=0.2高斯噪声。这2n2n个数据，存入

data[]

当中。下面我们用下列带未知参数的方程来拟合这些采样点：

y=emx+c.y=emx+c.

同样的，我们定义一个用来计算残差的结构体。注意，对应每个采样点（观测点）都要计算一个残差。

struct ExponentialResidual {
ExponentialResidual(double x, double y)
: x_(x), y_(y) {}
//结构体的构造函数。把x赋值给x_，把y赋值给y_。也就是说在建立一个对象的时候x_和y_是赋完值的。
template <typename T>
bool operator()(const T* const m, const T* const c, T* residual) const {
//计算残差，观测值-理论值。
residual[0] = T(y_) - exp(m[0] * T(x_) + c[0]);
return true;
}
private:
// 一个样本数据的观测值。
const double x_;
const double y_;
};

下面构造

Problem

。

double m = 0.0;
double c = 0.0; //初始值

Problem problem;
for (int i = 0; i < kNumObservations; ++i) {
CostFunction* cost_function =
new AutoDiffCostFunction<ExponentialResidual, 1, 1, 1>
new ExponentialResidual(data[2 * i], data[2 * i + 1]));
problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL, &m, &c);
}

这里，不妨再与Hello World （f(x)=10−xf(x)=10−x）对比一下：

struct CostFunctor {
template <typename T>
bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
residual[0] = T(10.0) - x[0];
return true;
}
};

CostFunction* cost_function =
new AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 1>(new CostFunctor);
problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL, &x);

通过对比，可以发现。在Hello World (HW)中，CostFunctor中是没有（显式）构造函数的，也就同样没有了初始值。所以在构造对象时，可以直接

New CostFunctor

。而在本节的曲线拟合例子中，构造对象时还要加上初始值。

new ExponentialResidual(data[2 * i], data[2 * i + 1]));

在方括号中的参数分别对应残差函数名

<ExponentialResidual,

，以及残差函数各个输入值（m,c）维度

1，1，

，还有就是输出值（residual）的维度

1>

。所以在本例中一共有三个1，而在HW中，只有两个1，即x和residual的维度。

最后一点就是在把残差块加入problem的过程中，要把输入变量一一带入。比如&m，&c，&x等。以上就是在构建Problem的时候需要顾及到的三个方面。再就是在使用Numeric算法时，还要在方括号中指定计算机如何计算导数，如

ceres::CENTRAL

。

最后运行程序（

examples/curve_fitting.cc

），得到下列结果：

iter      cost      cost_change  |gradient|   |step|    tr_ratio  tr_radius  ls_iter  iter_time  total_time
0  1.211734e+02    0.00e+00    3.61e+02   0.00e+00   0.00e+00  1.00e+04       0    5.34e-04    2.56e-03
1  1.211734e+02   -2.21e+03    0.00e+00   7.52e-01  -1.87e+01  5.00e+03       1    4.29e-05    3.25e-03
2  1.211734e+02   -2.21e+03    0.00e+00   7.51e-01  -1.86e+01  1.25e+03       1    1.10e-05    3.28e-03
3  1.211734e+02   -2.19e+03    0.00e+00   7.48e-01  -1.85e+01  1.56e+02       1    1.41e-05    3.31e-03
4  1.211734e+02   -2.02e+03    0.00e+00   7.22e-01  -1.70e+01  9.77e+00       1    1.00e-05    3.34e-03
5  1.211734e+02   -7.34e+02    0.00e+00   5.78e-01  -6.32e+00  3.05e-01       1    1.00e-05    3.36e-03
6  3.306595e+01    8.81e+01    4.10e+02   3.18e-01   1.37e+00  9.16e-01       1    2.79e-05    3.41e-03
7  6.426770e+00    2.66e+01    1.81e+02   1.29e-01   1.10e+00  2.75e+00       1    2.10e-05    3.45e-03
8  3.344546e+00    3.08e+00    5.51e+01   3.05e-02   1.03e+00  8.24e+00       1    2.10e-05    3.48e-03
9  1.987485e+00    1.36e+00    2.33e+01   8.87e-02   9.94e-01  2.47e+01       1    2.10e-05    3.52e-03
10  1.211585e+00    7.76e-01    8.22e+00   1.05e-01   9.89e-01  7.42e+01       1    2.10e-05    3.56e-03
11  1.063265e+00    1.48e-01    1.44e+00   6.06e-02   9.97e-01  2.22e+02       1    2.60e-05    3.61e-03
12  1.056795e+00    6.47e-03    1.18e-01   1.47e-02   1.00e+00  6.67e+02       1    2.10e-05    3.64e-03
13  1.056751e+00    4.39e-05    3.79e-03   1.28e-03   1.00e+00  2.00e+03       1    2.10e-05    3.68e-03
Ceres Solver Report: Iterations: 13, Initial cost: 1.211734e+02, Final cost: 1.056751e+00, Termination: CONVERGENCE
Initial m: 0 c: 0
Final   m: 0.291861 c: 0.131439

最终经过计算，结果是m=0.291861,c=0.131439m=0.291861,c=0.131439。这个值和一开始的设定值（m=0.3,c=0.1m=0.3,c=0.1）略有偏差。因为额外加入了高斯噪声，所以这个偏差的存在是合理的。拟合结果如下图所示，红圈即为拟合出的曲线。

鲁棒的曲线拟合Robust Curve Fitting

如果我们在数据集合中加入几个非常夸张的外围点Outliers，那么拟合结果会受到这几个点的明显影响。在这个时候需要应用损失函数（Loss function）来对异常数据进行过滤。比如在上文的例子中，我们对代码进行以下修改：

problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL , &m, &c);

改为：

problem.AddResidualBlock(cost_function, new CauchyLoss(0.5) , &m, &c);

CauchyLoss是Ceres Solver附带的损失函数之一。 参数0.5指定了损失函数的规模。通过对下面两个图的对比，我们可以明显的发现损失函数的作用。