树状数组
2018-03-26 18:08
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int lowbit(int t) { return t&(-t); } void add(int x,int y) { for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tree[i]+=y; } int getsum(int x) { int ans=0; for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=tree[i]; return ans; }先给出 最常见的,三个函数。(单点更新,区间查询) 下面开始*************************************************分割线树状数组 重点是在树状的数组大家都知道二叉树吧叶子结点代表A数组A[1]~A[8]
.......现在变形一下
现在定义每一列的顶端结点C[]数组 如下图
C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和// 这里以求和举例如图可以知道C[1]=A[1];C[2]=A[1]+A[2];C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7
4000
]+A[8];下面观察如下图
将C[]数组的结点序号转化为二进制1=(001) C[1]=A[1];2=(010) C[2]=A[1]+A[2];3=(011) C[3]=A[3];4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];5=(101) C[5]=A[5];6=(110) C[6]=A[5]+A[6];7=(111) C[7]=A[7];8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];对照式子可以发现 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; (k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度)例如i=8时,k=3;可以自行带入验证;现在引入lowbit(x) lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1 换言之 lowbit(x)=2^k k的含义与上面相同 理解一下下面说代码
int lowbit(int t) { return t&(-t); } //-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示 //例如 : // t=6(0110) 此时 k=1 //-t=-6=(1001+1)=(1010) // t&(-t)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i]; *************************************************分割线区间查询ok 下面利用C[i]数组,求A数组中前i项的和 举个例子 i=7;sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]; 再举个例子 i=5sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]; 细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用结合代码
int getsum(int x) { int ans=0; for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=C[i]; return ans; }
对于i=7 进行演示 7(111) ans+=C[7]lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) 对于i=5 进行演示 5(101) ans+=C[5]lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) *************************************************分割线
单点更新 当我们修改A[]数组中的某一个值时 应当如何更新C[]数组呢?回想一下 区间查询的过程,再看一下上文中列出的图 结合代码分析
void add(int x,int y) { for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tree[i]+=y; } //可以发现 更新过程是查询过程的逆过程 //由叶子结点向上更新C[]数组
如图: 当更新A[1]时 需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8] C[1], C[2], C[4], C[8]写为二进制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)] 1(001) C[1]+=A[1]lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=A[1]lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=A[1]
*************************************************分割线先这样 讲解题目:http://poj.org/problem?id=2299 poj 2299
http://codeforces.com/contest/703/problem/D cf 703D
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