买书问题——动态规划C++

买书问题

题目：

在节假日的时候，书店一般都会做促销活动。由于《哈利波特》系列相当畅销，店长决定通过促销活动来回馈读者。上柜的《哈利波特》平装书系列中，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多，假设具体折扣的情况如下：

本数	折扣
2	5%
3	10%
4	20%
5	25%

在一份订单中，根据购买的卷数及本数，就会出现可以应用不同折扣规则的情况。但是，一本书只会应用一个折扣规则。比如，读者一共买了两本卷一，一本卷二。那么，可以享受5%的折扣。另外一本卷一则不能享受折扣。如果有多种折扣，希望计算出的总额尽可能的低。
要求根据以上需求，设计出算法，能够计算出读者所购买一批书的最低价格。

思路：

1. 用动态规划首先需找到递归公式，因为动态规划是由顶向下递归的，自顶向下求解，根据底层结果得到最终解。
2. 5卷数的价格相同，如果用x1...x5对应1~5卷书的本数，F(x1,x2,x3,x4,x5)表费用，那F(x1,x2,x3,x4,x5)=F(x2,x1,x3,x4,x5)，根据排列组合，就有5!种表示方法，因此没有必要区分不同的卷，可以让书本按递减（或递增）来表示，(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)是x1,x2,x3,x4,x5的重排列，Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5。
3. 递归公式：
F(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)
=0                  (当Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=0)
=min{
5*8*(1-0.25)+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1)，          （当Y5>=0）
4*8*(1-0.20)+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5)，              （当Y4>=0）
3*8*(1-0.10)+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,y4,Y5)，                  （当Y3>=0）
2*8*(1-0.05)+F(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4,Y5)，                      （当Y2>=0）
8+F(y1-1,y2,y3,y4,y5)，                                           （当Y1>=0）
}

实现：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define n 5
#define INF 9999
using namespace std;

double min5(double a,double b,double c,double d,double e)//求5个double数的最小值
{
return min(min(min(a,b),min(c,d)),e);
}

double F(int y1,int y2,int y3,int y4,int y5)//递归实现动态规划
{
if(y1+y2+y3+y4+y5==0)return 0;//递归出口

//排序
int p[5]={y1,y2,y3,y4,y5};
sort(p,p+5,[](int a,int b){
return a<b?a:b;
});
y1=p[0],y2=p[1],y3=p[2],y4=p[3],y5=p[4];

double t1=INF,t2=INF,t3=INF,t4=INF,t5=INF;
if(y5>=1)t5=5*8*(1-0.25)+F(y1-1,y2-1,y3-1,y4-1,y5-1);
if(y4>=1)t4=4*8*(1-0.20)+F(y1-1,y2-1,y3-1,y4-1,y5);
if(y3>=1)t3=3*8*(1-0.10)+F(y1-1,y2-1,y3-1,y4,y5);
if(y2>=1)t2=2*8*(1-0.05)+F(y1-1,y2-1,y3,y4,y5);
if(y1>=1)t1=8+F(y1-1,y2,y3,y4,y5);
//	cout<<"t:\n";
//	cout<<t1<<" "<<t2<<" "<<t3<<" "<<t4<<" "<<t5<<endl;

return min5(t1,t2,t3,t4,t5);
}

int main()
{
int x
;
for(int i=0;i<n;++i)
{
cin>>x[i];
}
sort(x,x+n,[](int a,int b){
return a<b?a:b;
});
cout<<F(x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]);
return 0;
}