洛谷Oj-P1082 同余方程-扩展欧几里得

题目描述：

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

AC代码：

void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
}
else
{
ex_gcd(b,a % b,y,x);
y -= (a / b) * x;
}
return;
}
int main()
{
int a,b,x,y;
cin >> a >> b;
ex_gcd(a,b,x,y);
cout << (x + b) % b << endl;//防止x为负数，但是为什么对b取模呢
return 0;
}

解决方法：

ax≡1(modb),b≥2

ax=by+1

ax−by=1有解

由裴蜀定理得，gcd(a,b) = 1

ax−by=gcd(a,b)可以用扩展欧几里得算法来求解

扩展欧几里得算法：

ax+by=gcd(a,b)

a=⌊ab⌋b+a%b①

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)②

代入①、②

{⌊ab⌋b+a%b}x+by=gcd(b,a%b)

⌊ab⌋bx+(a%b)x+by=gcd(b,a%b)

b{⌊ab⌋x+y}+(a%b)x=gcd(b,a%b)

令

x′=⌊ab⌋x+y

y′=x

a′=b

b′=a%b

数论这一部分还是不太懂……