Holt 线性趋势模型，指数趋势模型和阻尼形式

1 Holt线性趋势模型

Holt 在1957年把简单的指数平滑模型进行了延伸，能够预测包含趋势的数据，该方法包含一个预测方程和两个平滑方程（一个用于水平，另一个用于趋势）：

Forecast equationLevel equationTrend equationy^t+h|tℓtbt=ℓt+hbt=αyt+(1−α)(ℓt−1+bt−1)=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)bt−1Forecast equationy^t+h|t=ℓt+hbtLevel equationℓt=αyt+(1−α)(ℓt−1+bt−1)Trend equationbt=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)bt−1

其中ltlt代表时刻t的预估水平，btbt代表时刻t的预测趋势（或坡度），αα是水平的平滑参数，β∗β∗是趋势的平滑参数。

这时候，预测函数不再是平的，而是具有趋势的。

2 指数趋势模型

另外一种Holt 线性模型的变体是指数趋势模型，这时水平和趋势不是相加的，而是相乘的。

y^t+h|tℓtbt=ℓtbht=αyt+(1−α)(ℓt−1bt−1)=β∗ℓtℓt−1+(1−β∗)bt−1y^t+h|t=ℓtbthℓt=αyt+(1−α)(ℓt−1bt−1)bt=β∗ℓtℓt−1+(1−β∗)bt−1

其中btbt代表预估的增长率（以相对的形式而不是绝对的形式）。这时候的趋势不是线性的，而是指数的。

3 阻尼趋势模型

经验表明，Holt的线性模型和指数模型倾向于对未来预测值过高，特别是对于长期预测。Gardner 和 McKenzie (1985)引入了一种阻尼效应，倾向于在未来保持一个水平的线。包含阻尼的趋势被证明是一种非常有效的预测方法。

除了Holt的方法中的αα和β∗β∗，该方法还包含阻尼参数0<ϕ<10<ϕ<1:

y^t+h|tℓtbt=ℓt+(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)bt=αyt+(1−α)(ℓt−1+ϕbt−1)=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)ϕbt−1.y^t+h|t=ℓt+(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)btℓt=αyt+(1−α)(ℓt−1+ϕbt−1)bt=β∗(ℓt−ℓt−1)+(1−β∗)ϕbt−1.

如果ϕ=1ϕ=1，这种方法与Holt的线性模型相同。对于在0到1的值，ϕϕ对趋势产生阻尼效应。实际上， 当h→∞h→∞时对于任何的0<ϕ<10<ϕ<1预测值收敛于lT+ϕbT/(1−ϕ)lT+ϕbT/(1−ϕ)。

误差校正形式是：

ℓtbt=ℓt−1+ϕbt−1+αet=ϕbt−1+αβ∗et.ℓt=ℓt−1+ϕbt−1+αetbt=ϕbt−1+αβ∗et.

4. 乘法阻尼趋势

Taylor(2003)引入了一种阻尼参数，建立了乘法阻尼趋势模型：

y^t+h|tℓtbt=ℓtb(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)t=αyt+(1−α)ℓt−1bϕt−1=β∗ℓtℓt−1+(1−β∗)bϕt−1.y^t+h|t=ℓtbt(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)ℓt=αyt+(1−α)ℓt−1bt−1ϕbt=β∗ℓtℓt−1+(1−β∗)bt−1ϕ.

这种方法的预测结果不像加法阻尼那么保守，误差校正形式是：

ℓtbt=ℓt−1bϕt−1+αet=bϕt−1+αβ∗etℓt−1.ℓt=ℓt−1bt−1ϕ+αetbt=bt−1ϕ+αβ∗etℓt−1.