简单指数平滑

简单指数平滑

简单指数平滑法（SES）适用于预测没有趋势和季节性的模型。

y^T+1|T=αyT+α(1−α)yT−1+α(1−α)2yT−2+⋯,y^T+1|T=αyT+α(1−α)yT−1+α(1−α)2yT−2+⋯,

上式中，距离预测时间越近的日期占的权重越大，距离越远权重越小。

有三种等效形式：

1.1 权重平均形式

t+1时刻的预测值y^t+1|ty^t+1|t等于最近邻的观测值ytyt和最近邻的预测值y^t|t−1y^t|t−1的加权平均。

y^t+1|t=αyt+(1−α)y^t|t−1y^t+1|t=αyt+(1−α)y^t|t−1

该式子必须从某个地方起始，设置第一个预测值为l0l0，那么

y^2|1y^3|2y^4|3⋮y^T+1|T=αy1+(1−α)ℓ0=αy2+(1−α)y^2|1=αy3+(1−α)y^3|2=αyT+(1−α)y^T|T−1y^2|1=αy1+(1−α)ℓ0y^3|2=αy2+(1−α)y^2|1y^4|3=αy3+(1−α)y^3|2⋮y^T+1|T=αyT+(1−α)y^T|T−1

将上述方程按如下方式替换，可以得到：

y^T+1|T=∑T−1j=0α(1−α)j+(1−α)Tl0y^T+1|T=∑j=0T−1α(1−α)j+(1−α)Tl0

1.2 分量形式

简单指数平滑方法中的位移组分是水平（level），其组分可以分为一个预测方程和一个平滑方程，平滑方程对以前的level做指数平滑。表达式如下：

Forecast equationSmoothing equationy^t+1|tℓt=ℓt=αyt+(1−α)ℓt−1,Forecast equationy^t+1|t=ℓtSmoothing equationℓt=αyt+(1−α)ℓt−1,

其中ltlt是时间tt时刻的水平值。预测方程表明t+1时刻的预测值是t时刻的预估水平。平滑方程给出了在t时刻的预估水平。

1.3 误差修正形式

第三种形式是通过将分量形式中的平滑方程重新组合，得到了误差修正形式：

ℓt=ℓt−1+α(yt−ℓt−1)=ℓt−1+αetℓt=ℓt−1+α(yt−ℓt−1)=ℓt−1+αet其中et=yt−ℓt−1=yt−y^t|t−1et=yt−ℓt−1=yt−y^t|t−1。如果t时刻的误差是负的，那么y^t|t−1>yty^t|t−1>yt，所以t-1时刻的水平被高估了。新的水平ltlt这时候是jt−1jt−1向下调整。αα越接近1，预估水平越粗糙（发生了很大的调整）。\alpha$越接近0，预估水平的平滑（发生了小的调整）

2 多个范围的预测

目前为止给出的预测方程都是只预测后一个步长的的情况。简单的指数平滑具有一个平的预测方程，对于更长期的预测，有：

y^T+h|T=y^T+1|T=ℓT,h=2,3,….y^T+h|T=y^T+1|T=ℓT,h=2,3,….

这样的预测只有在时间序列没有趋势或者季节性规律时才适用。

3 初始化

每个指数平滑方法都需要对平滑过程初始化。在简单指数平滑时，需要给初始值水平l0l0赋值，当时间序列较短或αα较小时，权重可能会显著影响预测结果。

另一种方式是通过优化的方法来确定l0l0的值，例如在简单指数平滑模型中，只有一个αα值，可以通过比较平方误差之和（SSE）来确定最佳的αα。