UPC-6022 跳马(数列增量求和&广搜打表找规律)

题目描述

一个骑士在一个无限大的国际象棋棋盘里跳。一开始，这个国际象棋棋盘的每一个格子都是被标记为未被走过的，而骑士一开始可以以任意的一个格子作为起点，并且这个格子标记为走过。然后，他可以以如下图的规则跳N次，每一个他所到过的格子都会被标记为已经走过。



现在，我们需要知道在N次跳跃之后，有多少个格子可能被标记为走过。

输入

第一行一个整数T，表示数据组数

接下来T行，每行一个整数N

输出

共T行，每行一个整数，表示对应测试数据的答案

样例输入

3

0

1

7

样例输出

1

9

649

提示

对于30%的数据，1<=T<=10，N<=1,000

对于60%的数据，1<=T<=100，N<=1,000,000

对于100%的数据，1<=T<=100,000，N<=1,000,000,000

首先这题真的真的很恶心，1e9的数据，无计可施的我只能认为是打表找规律。

首先先广搜，输出前100项数据。

以下是模拟的广搜代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
bool vis[2002][2002];
int walkx[]= {1,2,1,2,-1,-2,-1,-2};
int walky[]= {-2,-1,2,1,2,1,-2,-1};
struct point
{
int x,y,num;
};
int main()
{
queue<point>q;
int llst=0;
int last=0;
for(int i=0; i<=10; i++)
{
int n=i;
memset(vis,false,sizeof(vis));
while(!q.empty())q.pop();
point st;
st.x=1000;
st.y=1000;
st.num=0;
vis[st.x][st.y]=true;

d91f
int sum=0;
q.push(st);
while(!q.empty())
{
point top=q.front();
q.pop();
sum++;
for(int i=0; i<8; i++)
{
point tmp;
tmp.x=top.x+walkx[i];
tmp.y=top.y+walky[i];
tmp.num=top.num+1;
if(tmp.x>=0&&tmp.x<2000&&tmp.y<2000&&tmp.x>=0&&!vis[tmp.x][tmp.y]&&tmp.num<=n)
{
vis[tmp.x][tmp.y]=true;
q.push(tmp);
}
}
}
//        for(int k=0; k<=100; k++)
//        {
//            for(int j=0; j<=100; j++)
//                printf("%d",vis[k][j]);
//            printf("\n");
//        }
printf("%d------->%d-------->%d-------->%d\n",i,sum,sum-last,sum-last-llst);
llst=sum-last;
last=sum;
//        printf("======%d\n",llst);
}

}

第0步到第n步的所有步数在你成功敲完广搜输出之后。你会发现，这特么根本没有什么规律，接着你可能会凭着直觉输出两两数据间的差值，也就是增量。

你会发现特么仍然不是一个定值。。。

如果光看前5项，那么增量的增量仍然是变化的，况且看到增量没有规律谁特么还会去看增量的增量是否为定值，但是第五项之后，增量的增量确实为28的定值了！

0——->1——–>1——–>1

1——->9——–>8——–>7

2——->41——–>32——–>24

3——->109——–>68——–>36

4——->205——–>96——–>28

5——->325——–>120——–>24

6——->473——–>148——–>28

7——->649——–>176——–>28

8——->853——–>204——–>28

9——->1085——–>232——–>28

10——->1345——–>260——–>28

于是到此就结束了广搜的找规律过程，拿到规律开始推式子，我们将ans原数列设为a，将增量设为数列b,因为前5项是无规律的，直接打表特判。

从第五项开始有规律，那么此处作为我们推等差数列的首项。a1=325，而此处首项的增量是120，但a作为一个首项是没有增量的，因此数列b的首项是148，b1=148

在数列b中，是一个简单的等差数列，公差为28，由等差数列公式得到b【n】=120+28*n

再看数列a，我们可以得到：

a【1】=325

a【2】-a【1】=b【1】

a【3】-a【2】=b【2】

a【4】-a【3】=b【3】

a【5】-a【4】=b【4】

………

a【n】-a【n-1】=b【n-1】

将这些数列求和可以消去中间值，那么即

a【2】-a【1】+a【3】-a【2】+a【4】-a【3】+a【5】-a【4】+…….+a【n】-a【n-1】=b【1】+b【2】+b【3】+b【4】+…….+b【n-1】

化简后得： a【n】-a【1】=∑（b【1】~b【n-1】）

我们要求解a【n】=∑（b【1】~b【n-1】）+a【1】

其中b【n-1】=120+28*(n-1)

根据等差数列求和公式数列b的求和:

∑b（【1】~b【n-1】）=（n-1）*(b【1】+b【n-1】)/2

代入可得 a【n】= （n-1）*（120+28*n+120）/2+325

直接计算即可。

但是你以为这样就完了吗？

在你还在对你的推导产生怀疑的时候。这么交上去如果错了怕不是直接回到第一步开始查错。

然而只是结果爆了long long 得用unsigned long long

到此你以为就完事了？

如果你在计算公式时是直接一套公式敲上去的，还有可能在计算过程中爆掉unsigned long long

因此可以对计算改变先后顺序，先除2再乘n-1，这样才能得到最终结果

注意首项是从第五项开始，因此还需要对n处理，减去4才是通项公式中实际的n

说白了就是一道靠打表找规律再根据数列推导公式的数学题，还有各种坑点，然而，有人能证明为什么是这样一个结果吗？

#include<stdio.h>
#define ULL unsigned long long
int main()
{
ULL n,t;
ULL a[]={1,9,41,109,205};
scanf("%llu",&t);
while(t--)
{
scanf("%llu",&n);
if(n<5)
{
printf("%llu\n",a
);
continue;
}
else
{
n-=4;
ULL ans=(240+28*n)/2*(n-1)+325;
printf("%llu\n",ans);
}
}
}