[差分约束系统] caioj1400: 【差分约束（模版）】区间

caioj 1400: 【差分约束（模版）】区间 http://caioj.cn/problem.php?id=1400

这道题真的负责人巨懒不想出视频

因为spfa是恒定d[y]<=d[x]+a[k].c（如果d[y]>d[x]+a[k].c的话就进入更新赋值）

其实差分就是如果有很多个条件能够转换成像spfa这样的条件的的话

就可以建边跑最短路的

然后要考虑一下有负环无解的情况

//制作人：陈保良
//这种算法的基础是最短路，不会的请先学小白菜1088
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct bian
{
int x,y,d,next;
}a[510000];int len,last[51000];
void ins(int x,int y,int d)
{
len++;
a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].d=d;
a[len].next=last[x];last[x]=len;
}
int sta[51000],d[51000],ru[51000];
bool v[51000];
int main()
{
freopen("Intervals.in","r",stdin);
freopen("Intervals.out","w",stdout);
int n,x,y,c,top,maxx,minn;
scanf("%d",&n);
len=0;memset(last,0,sizeof(last));
maxx=0;minn=50000;
/*
约束条件的推导：
我们设s[i]表示从1～i这个区间内有多少个点
那么每个约束条件可以表示为
s[bi]-s[ai-1]>=ci
s[i-1]到s[i]最多有一个点
所以有s[i]-s[i-1]>=0
s[i-1]-s[i]>=-1
s[ai-1]<=s[bi]-ci
s[i-1]<=s[i]-0
s[i]<=s[i-1]+1
*/
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);//s[x-1]<=s[y]-c;
//看这和最短路代码if(d[y]>d[x]+a[k].d)d[y]=d[x]+a[k].d是不是很像=>   d[y]<=d[x]+a[k].d
//所以把s[x-1]看成d[y],s[y]看成d[x],-c看成a[k].d，也就是由y到x-1新建一条值为-c的边
ins(y,x-1,-c);
maxx=max(maxx,y);//找最大点，因为题目保证y大于x，所以只需要判断y这个点就好
minn=min(minn,x-1);//找最小点，与上同理
}
for(int i=minn+1;i<=maxx;i++)
{
ins(i,i-1,0);//s[i-1]<=s[i]-0
ins(i-1,i,1);//s[i]<=s[i-1]+1
}
memset(v,0,sizeof(v));
memset(d,63,sizeof(d));
memset(ru,0,sizeof(ru));
top=0;for(int i=minn;i<=maxx;i++)sta[++top]=i;//在执行SPFA之前需要将所有的点入栈，保证每个点都访问得到。
v[sta[top]]=1;d[sta[top]]=0;//head必须是maxx，因为建边是从y到x-1，而存y的是maxx，所以只能由maxx作为起点
//最短路用的是单向边，反过来路径长度就可能会增加
while(top!=0)
{
int x=sta[top--];
for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
{
int y=a[k].y;
if(d[y]>d[x]+a[k].d)
{
d[y]=d[x]+a[k].d;
if(!v[y])//相当于(v[y]==0)
{
v[y]=1;
sta[++top]=y;
ru[y]++;
if(ru[y]>(maxx-minn))return 0;//两点间如果有最短路，那么每个点最多经过一次。
//也就是说，这条路不超过（n-1）条边（n为总点数）。只要有一个点进栈次数大于（n-1）次，那么就说明存在负环。
//在这题里n=maxx-minn+1，所以n-1=maxx-minn
//理解不了这里的可以参考一下这篇文章里关于SPFA环的部分
//http://www.cnblogs.com/zhengguiping--9876/p/4797195.html
}
}
}
v[x]=0;
}
printf("%d\n",d[maxx]-d[minn]);//输出最小点到最大点的距离，即答案
return 0;
}
//差分约束的重点中的重点：约束式一定要化为y<=x+c的形式，否则模型直接的转换会出错
/*
差分约束系统的定义
如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如x[j]-x[i]<=b[k](1<=i,j<=n),(1<=k<=m)
则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求不等式组的解。
*/
/*
差分约束系统的运用
在面对多种多样的问题时，我们经常会碰到这样的情况：往往我们能够根据题目题面意思来建立一些简单的模型，
但却面对这些模型无从下手。这时我们应该意识到，也许能够将这种模型与其他的模型之间搭起一座桥梁，
使我们能够用更简单直接的方式解决它。差分约束系统很好地将某些特殊的不等式组与图相联结，让复杂的问题简单化，
将难处理的问题用我们所熟知的方法去解决，它便是差分约束系统。
*/