best-time-to-buy-and-sell-stock（购买并抛售股票的最佳时机）

题目1

（1）题目：假设你有一个数组，其中第i个元素是第i天给定股票的价格。
如果您只允许完成至多一笔交易（即买入一只股票并出售一只股票），则设计一种算法以找到最大利润。
（2）分析：分别计算第1天，第2天，...，第n-1天出售股票时的最大利润，再得出总的最大利润。
（3）代码：

public class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if(prices==null || prices.length<=1) return 0;
int n=prices.length;
int max=0;
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){//第i+1天出售股票
max=Math.max(max,prices[i]-prices[j]);
}
}
return max;
}
}

public class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if(prices==null||prices.length==0){
return 0;
}
int max=0;
int min=prices[0];
for(int i=0;i<prices.length;i++){
min = Math.min(min,prices[i]);
max=Math.max(max,prices[i]-min);
}
return max;
}
}

题目2

（1）题目：假设你有一个数组，其中第i个元素是第i天给定股票的价格。设计一个算法来找到最大的利润。 您最多可以完成两笔交易。
注意：您不可以同时进行多笔交易（即您必须在再次购买之前出售股票）。
（2）分析：假设第i天为第一次出售股票的时间，计算第0天到第i天的最大利润；再分析第i+1天到第n-1天购买和出售股票的最大利润（当然这段时间内也可以没有交易）。最大利润为两者之和。
（3）代码：

public class Solution {

public int maxProfit(int[] prices) {
if(prices==null || prices.length==0) return 0;
return maxProfit(prices,0,prices.length-1);
}

public int maxProfit(int [] array,int start,int end){
if(start>=end) return 0;
int max=0;
for(int i=start+1;i<=end;i++){
max=Math.max(max,maxProfit1(array,start,i)+maxProfit2(array,i+1,end));
}
return max;
}

public int maxProfit1(int [] array,int start,int end){//计算第i天出售股票时的最大利润
if(start>=end) return 0;
int max=0;
for(int i=start;i<end;i++){
max=Math.max(max,array[end]-array[i]);
}
return max;
}

public int maxProfit2(int [] array,int start,int end){//计算第i+1到第n天购买和出售股票的最大利润
if(start>=end) return 0;
int max=0;
for(int i=start;i<end;i++){
for(int j=i+1;j<=end;j++){
max=Math.max(max,array[j]-array[i]);
}
}
return max;
}
}

/**
* 分别计算出i之前和之后的最大利润pre[i],post[i]
* 再以i为分割求出两次交易的最大利润（在i处可能卖出再买入，相当于就一次交易）
* 空间换时间，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)
* @param prices
* @return
*/
public int maxProfit(int[] prices) {
if(prices==null||prices.length<2) return 0;
int[]pre=new int[prices.length];
int []post=new int[prices.length];
int min=prices[0];
for(int i=1;i<prices.length;i++){
min=Math.min(min,prices[i]);
pre[i]=Math.max(pre[i-1],prices[i]-min);
}
int max=prices[prices.length-1];
for(int i=prices.length-2;i>=0;i--){
max=Math.max(max,prices[i]);
post[i]=Math.max(post[i+1],max-prices[i]);
}
int maxProfit=0;
for(int i=0;i<prices.length;i++){
maxProfit=Math.max(maxProfit,pre[i]+post[i]);
}
return  maxProfit;
}

题目3

（1）题目：假设你有一个数组，其中第i个元素是第i天给定股票的价格。设计一个算法来找到最大的利润。 您可以根据需要完成尽可能多的交易（即多次买入和卖出一次股票）。 但是，您不得同时进行多笔交易（即您必须在再次购买之前出售股票）。
(2)分析：假设第i天为第一次出售股票的时间，计算出第0天到第i天这段时间的最大利润。然后再计算第i+1天到第n天这段时间的最大利润，这是一个递归求解的过程。
（3）代码：

public class Solution {

public int maxProfit(int[] prices) {
if(prices==null || prices.length<=1) return 0;
return maxProfit(prices,0,prices.length-1);
}

public int maxProfit(int [] array,int start,int end){
if(start>=end) return 0;
int max=0;
for(int i=start+1;i<=end;i++){
max=Math.max(max,maxProfit1(array,start,i)+maxProfit(array,i+1,end));
}
return max;
}

public int maxProfit1(int [] array,int start,int end){
if(start>=end) return 0;
int max=0;
for(int i=start;i<end;i++){
max=Math.max(max,array[end]-array[i]);
}
return max;
}

}

class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int> &prices) {
//本题由于允许多次交易（每次必须先卖出再买进），所以不好用爆搜
//分析可知，要想利益最大化，就应该每次在波谷买进，波峰卖出，这样利益最大，操作次数最少。
//波峰减波谷等于波峰到波谷的元素依次相减的和
//应该是使用动态规划来做可能比较简洁，个人觉得。

int len = prices.size();
vector<int> change(len,0);
int maxPro=0;
for(int i=1;i<len;i++){
change[i]=prices[i]-prices[i-1];  //记录所有长和跌的情况
if(change[i]>0)maxPro += change[i];  //累加所有长幅，即为最大收益
}
return maxPro;
}
};