51nod 1236 序列求和 V3

题目

Fib(n)表示斐波那契数列的第n项，Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)。Fib(0) = 0, Fib(1) = 1。

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …)

F(n, k) = Fib(n)^k（Fib(n)的k次幂）。

S(n, k) = F(1, k) + F(2, k) + …… F(n, k)。

例如：S(4, 2) = 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 15。

给出n和k，求S(n, k) Mod 1000000009的结果。

分析

把斐波那契通项求和二项式展开之后会发现那是一个等比数列，然后暴力求

代码

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;

const int MOD = 1000000009;
const int g = 616991993;
const int N = 100005;

int jc
,ny
,v1
,v2
;

int ksm(int x,LL y)
{
int ans = 1;
while (y)
{
if (y & 1)
ans = (LL)ans * x % MOD;
x = (LL)x * x % MOD;
y >>= 1;
}
return ans;
}

int get_sum(int q,LL n)
{
return (LL)(ksm(q,n + 1) + MOD - q) * ksm(q - 1, MOD - 2) % MOD;
}

int solve(LL n,int k)
{
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= k; i++)
{
int w = (LL)v1[i] * v2[k - i] % MOD;
w = w == 1 ? n % MOD : get_sum(w,n);
if ((k - i) & 1)
ans += MOD - (LL)jc[k] * ny[i] % MOD * ny[k - i] % MOD * w % MOD;
else ans += (LL)jc[k] * ny[i] % MOD * ny[k - i] % MOD * w % MOD;
ans -= ans >= MOD ? MOD  :0;
}
ans = (LL)ans * ksm(g,(LL)k * (MOD - 2) % (MOD - 1)) % MOD;
return ans;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
jc[0] = jc[1] = ny[0] = ny[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 100000; i++)
jc[i] = (LL)jc[i - 1] * i % MOD, ny[i] = (LL)(MOD - MOD / i) * ny[MOD % i] % MOD;
for (int i = 2; i <= 100000; i++)
ny[i] = (LL)ny[i - 1] * ny[i] % MOD;
v1[0] = v2[0] = 1;
for (int i = 1; i <= 100000; i++)
v1[i] = (LL)v1[i - 1] * (1 + g) % MOD * ny[2] % MOD, v2[i] = (LL)v2[i - 1] * (1 + MOD - g) % MOD * ny[2] % MOD;
while (T--)
{
LL n;int k;
scanf("%lld%d",&n,&k);
printf("%d\n",solve(n,k));
}
}