Hyperspectral Image Recovery via Hybrid Regularization论文阅读笔记

Hyperspectral Image Recovery via Hybrid Regularization论文阅读笔记论文信息：



Abstract

自然图像大多数包含光滑区域，且其中的一些像素具有光谱高度相关性。该信息可以用来从压缩或含噪的图像中恢复高光谱图像。
本文工作：
(1)构造复合代价函数：平方误差数据拟合项+两个正则项（空间域和谱域）；
(2)使用an accelerated proximal-subgradient method 最小化代价函数，优于an accelerated proximal-gradient algorithm that solves the classical basis-pursuit denoising problem。
I. INTRODUCTION
    高光谱成像(Hyperspectral Imaging or Imaging Spectroscopy)研究电磁光谱信息的收集(the collection of electromagnetic spectral information)。高光谱成像系统致力于获得图像场景像素反射或散射的放射光谱，通过获得电磁光谱的多个谱段来成像，区别于人眼视觉系统通过获得红绿蓝可见光来成像。
    简而言之，高光谱成像是在多个连续光谱上同时获得空间域图像的过程，这些图像可被堆叠成三维结构，称为高光谱图像数据立方体(hyperspectral image datacube)。
论据：
    (1)高光谱图像中的每个像素覆盖一个区域，该区域内包含一些不同的物质。因此，每个像素的光谱可以看成其覆盖区域内物质的光谱特征的混合。当存在于某个场景中的一系列光谱特征可用，这些像素的光谱数据可以利用这些特征来编码得到。这样的话，可以有效减少冗余；
    (2)自然图像在任意谱段通常包含显著性特征和细节，其与所有像素的辐射强度的原始数据相比要少得多。这点在高分辨率图像上更加明显。

结论：
    (1)大多数自然图像在合适的变换域上高度可压缩，例如离散余弦变换域或离散小波变换域；
    (2)空间域和谱间域上的信息特征不相同，因此当收集测量值时可以分别处理。
    压缩高光谱成像技术(compressive hyperspectral imaging techniques)致力于减少获取时间和传感复杂度(the acquisition time and sensing complexity)，该技术依赖于高光谱图像数据在一些变换域上是稀疏或可压缩的。
    目前，通常利用基追踪去噪技术(basis-pursuit denoising,BPDN)进行高光谱图像重建，一般通过最小化复合代价函数(包含一个平方误差项和一个正则项，正则项是一个应用到整个数据立方体的三维的稀疏变换矩阵系数的L1范数)。而本文我们提出的是包含两个可分离的正则项（空间域和谱域）的混合正则结构，可以利用特性：空间域上突然变化的缺乏和谱域上合适的变换系数的稀疏性(压缩性)。
II. DATA MODEL
将高光谱图像的数据立方体数字化为三维的张量：

其中，

：图像的垂直分辨率(the vertical resolution)和水平分辨率(the horizontal resolution)

：光谱分辨率(the spectral resolution)，即每个像素的谱带数用一个二维矩阵

表示第k

个谱带的图像结构定义像素个数



从而形成矩阵



定义空间域和谱域的投影矩阵：

                                                         


其中，

是空间域和谱域的投影数。
因此，压缩的和含噪的测量值

为：

其中，

是背景噪声/误差矩阵，服从独立正态分布，零均值，方差

。(1)式可以写为：

其中，

为克罗内克积(the Kronecker product)。

注：克罗内克积(the Kronecker product)


III.BASIS PURSUIT DENOISING
高光谱图像的稀疏表达基为：


其中，

是一个二维的离散小波变换基矩阵(discrete wavelet

transform (DWT) basis matrix)，

。


是一维DWT基矩阵。


是一个正交基矩阵。
根据以上先验知识，X的估计可以通过解下面的凸优化问题得到：

或等价为：

其中，

返回矩阵中所有元素绝对值的和；          式(2)中的第一项是数据保真项，第二项是稀疏正则项。        

正则参数。
the proximalgradient algorithm 是解决式(2)有效方法：



其中


考虑到

的正交性，式(3)可写为：


解决式(2)的accelerated proximal-gradient BPDN (APG-BPDN) 加速近端梯度基追踪去噪算法：


IV. PROPOSED ALGORITHM
先验知识：
自然图像一般包含大部分的分片光滑区域，仅在区域边界处不连续，因此自然图像的全变差远小于它的扭曲图像和含噪图像。与最小化图像小波系数的L1范数相比，最小化全变差可得到更好的复原效果。
因此，加入全变分正则项(total-variation)，高光谱图像X可以通过解决下面的凸优化问题得到：


其中，第一个正则项

为高光谱数据立方体中全变分的总和；         第二个正则项

为所有系数变换系数的L1范数的总和；        

为正则参数；
          函数

返回图像结构

的各相同性全变分(the isotropic totalvariation)，其定义为：

        

注：


将式(8)中的代价函数表示为

并将其分为：





我们采用近端次梯度算法解决式(8)，该算法利用

的次梯度和

的近端算子。该算法的迭代等式为：

其中，
                                                     


函数

返回第k个图像结构总变分的次梯度，即

。我们计算

的第(i,j)个元素为：

式(10)可以被改写为：

解决式(8)的accelerated proximal-gradient BPDN (APG-BPDN) 加速近端梯度基追踪去噪算法：


A. Non-Orthonormal Spectral Representation Matrix
我们先前假设

是一个标准正交基矩阵，但是，若

不是正交的，即它是一个学习的字典，则式(8)可以写为：



相关迭代等式可写为：

                                     


其中，

是一个辅助矩阵变量，从(13)-(15)中消去

：

                                  


因此，当

是非正交的，式(9)左边左乘



，式(11)左乘

而不是

。

V. CONVERGENCE ANALYSIS

略
VI. SIMULATION RESULTS
6张高光谱图像：
Stanford Dish

San Francisco
Harvard Outdoor
Harvard Indoor
Indian Pines
Washington DC Mall
我们重新调整它们的尺寸，调整后的空间和谱间分辨率等参数如下表：



因为自然图像的大部分能量集中在二维Fourier or Walsh光谱的低频部分，所以在空间域上我们使用一个包含两部分的多元矩阵。


其中，第一部分

，是从二维Walsh-Hadamard transform (WHT) 提取

个左上方系数，并且系数是按照类似于JPEG图像压缩的之字形扫描模式(the zig-zagging pattern used by the JPEG still-image data compression standard)来选取的；第二部分

，是从a Rademacher (symmetric Bernoulli)
distribution 随机选取

个投影。

因此，得到：


其中，

是the sequencyordered WHT basis matrices of order Nv and Nh, respectively。

返回一个列向量，其包含A的左上B个系数，系数以与the zig-zagging pattern类似的顺序选择。
与之类似，在光谱域中，我们也使用一个多元矩阵：


其中，

是取自the sequency-ordered Hadamard matrix of order Ns 的前

行；

包含Rademacher distribution的随机取值。
因此，如果我们表示X：


其中，

对应于第l个像素的光谱。
则：




我们使用二维Haar wavelet basis matrix作为空间域的稀疏表达基

(在APG-BPDN 算法中)。为获得好的谱域表达基

，随机选取一部分像素，即

，然后定义它的光谱矩阵

，对其进行奇异值分解

，令

。

   

、