【BZOJ4568】幸运数字（SCOI2016）-树上倍增+异或线性基合并

测试地址：幸运数字

做法：本题需要用到树上倍增+异或线性基合并。

我们发现，每次询问都是求从一条路径上选一个子集，使得这个子集的异或和最大。如果只有一个询问，那敢开这题的大家肯定都会O(60n)O(60n)的线性基+贪心做法，问题是有qq个询问，暴力做显然会炸，所以需要找到优化的方法。

我们发现只要求出了对应向量空间的线性基，那么求最大异或和就是O(60)O(60)的，所以我们只需要找到更快求线性基的方法。这就要引出线性基的合并了。显然两个向量空间合并起来得到的线性基等于两个向量空间的线性基合并起来的结果，那么我们只需把其中一个线性基暴力插到另一个线性基中即可，这样每合并一次就是O(602)O(602)的。

既然线性基具有可合并性，想到树上的路径中可合并信息的查询，显然可以想到用倍增来求出点ii到它的2k2k级父亲上的点的线性基，然后用类似LCA的方法合并线性基即可。这样总的时间复杂度就是O(602qlogn)O(602qlog⁡n)的，看上去很不可过，但只要卡卡常数还是能过的……

貌似还有更优的点分治做法，有待学习……

我傻逼的地方：把合并写成有返回值的函数，直接增加一倍的常数……

以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxbit=60;
int n,m,fa[20010][16],first[20010]={0},tot=0,dep[20010];
ll val[20010];
struct edge
{
int v,next;
}e[40010];
struct basis
{
ll s[61];
}bas[20010][16];

void insert(int a,int b)
{
e[++tot].v=b,e[tot].next=first[a],first[a]=tot;
}

void basinsert(basis &b,ll k)
{
for(int i=maxbit;i>=0;i--)
if ((k>>i)&1)
{
if (b.s[i]) k^=b.s[i];
else
{
b.s[i]=k;
for(int j=0;j<i;j++)
if (b.s[j]&&((b.s[i]>>j)&1)) b.s[i]^=b.s[j];
for(int j=i+1;j<=maxbit;j++)
if ((b.s[j]>>i)&1) b.s[j]^=b.s[i];
break;
}
}
}

void basmerge(basis &b1,basis b2)
{
for(int i=0;i<=maxbit;i++)
if (b2.s[i]) basinsert(b1,b2.s[i]);
}

void dfs(int v)
{
basinsert(bas[v][0],val[v]);
for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
if (e[i].v!=fa[v][0])
{
fa[e[i].v][0]=v;
dep[e[i].v]=dep[v]+1;
dfs(e[i].v);
}
}

basis work(int x,int y)
{
basis result;
memset(result.s,0,sizeof(result.s));
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=15;i>=0;i--)
if (dep[fa[x][i]]>=dep[y])
{
basmerge(result,bas[x][i]);
x=fa[x][i];
}
if (x==y)
{
basinsert(result,val[x]);
return result;
}
for(int i=15;i>=0;i--)
if (fa[x][i]!=fa[y][i])
{
basmerge(result,bas[x][i]);
basmerge(result,bas[y][i]);
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
}
basinsert(result,val[x]);
basinsert(result,val[y]);
basinsert(result,val[fa[x][0]]);
return result;
}

int main()
{
memset(bas,0,sizeof(bas));

scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&val[i]);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
insert(a,b),insert(b,a);
}

fa[1][0]=0,dep[1]=1,dep[0]=0;
dfs(1);
for(int i=1;i<=15;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
if (fa[j][i-1])
bas[j][i]=bas[j][i-1],basmerge(bas[j][i],bas[fa[j][i-1]][i-1]);
}

for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
basis ans=work(x,y);
ll totans=0;
for(int i=0;i<=maxbit;i++)
if (ans.s[i]) totans^=ans.s[i];
printf("%lld\n",totans);
}

return 0;
}