ZJOI2018 滑雪记 + 部分题解

Part1 滑雪记

2018.3.18

满怀鸡冻的心情踏上了\(ZJOI\)的旅程，宾馆好像还是四星级的？

而且这次还带上了笔记本电脑，简直......

上车就开始看电影，结果电影太短了看完还有一个小时。

随手写水题(AC自动机：Ring)改善心情好了，写完还有时间就听歌。

晚上吃大餐，一种川菜既视感很合我的胃口。

然后回宾馆大颓，场面我都没法描述了，反正.....群魔乱舞好了。

重新入坑炉石，从一级开始打，结果欧气爆发一个晚上抽了两张橙卡HaHa！

2018.3.19 上午

上午听课，标题：杂题选讲！ 我 凸(艹皿艹 ) !

开始几题还是认真听，后面完全掉线，决定自己看组合数学好了。

自己的多项式好弱啊！( @\(yyb\) 靠你了....)

等会少数我完全听懂了的题在下面放一下，其它的，呵呵呵。

午餐食堂，还不错，好评。

然后午休时间对着上午的\(PPT\)研究，并没有什么卵用。

2018.3.19 下午

下午，还是杂题选讲？ 我 凸(艹皿艹 ) !

掉线更加严重了，才听几题就掉了。

而且很多题目都似懂非懂，感觉只是会了部分，自己\(yy\)也搞不出来。

然后\(3:50\)就讲完了，放学喽回去浪起来！

呵呵你想多了。

马上又来了一个大佬，终于是讲知识点了。

同学们，今天我们来讲讲网格图算法。

这位讲课的大佬有点骚啊，什么"这题我好像不太会，哪位大佬上来教教我"这种骚话都出来了。

我惊奇的发现还不如杂题选讲了.....

因为我从开头就掉线了。

昏昏沉沉昏昏欲睡摇摇欲坠的坚持听完了，然而并没有听懂。

晚餐食堂，一如既往的不错。 吃完晚饭后就去试机了。

2018.3.19 晚上

试机刚刚把输入敲完就说可以走了？

一波人都走了我还是决定把\(FFT\)敲一遍再走。

此时只剩下我，\(Zsy\)，\(Yyb\)还在试机了。 \(6:30\)发车(为下文做铺垫)。

\(6:20\)终于搞完了，一看时间我 凸(艹皿艹 )。

三个人雨中一路狂奔，奔到门口刚好有一辆车准备走了连忙挤了上去。

上了车后\(Yyb\)给\(Yl\)打电话.....

我们竟然是坐的第一班车？其他人都还在原地打摆？

震惊！某校信息组三人因祸得福，坐车迟到反而坐上首班车！

做到宾馆门口下车时刚好遇到\(xzz\)一群人。

他们是自己坐公交+走路回来的？三个人真的越来越懵逼了.....

晚上回去先\(Yyb\)没带房卡就先来我的房间"休息"，还带着笔记本。

然后\(Yl\)、\(xzz\)、\(fdf\)、\(FlashHu\)他们都回来了。 接下来\(hyxd\)的故事自己想象....

2018.3.20 上午+下午

早上\(7:00\)被闹钟叫醒，结果竟然又睡着了。

等我再次睁开眼睛的时候：

\(YCB\)：现在几点钟了？

\(FDF\)：我已经吃完饭了。

\(YCB\)：你咋没叫我？

\(FDF\)：我叫了你好多遍你都不起来我就先去了。

\(YCB\)：纳尼？ 所以现在几点了？

\(FDF\)：额...好像已经\(7:30\)了吧。

\(YCB\)：qwdewqfrewnergrrekgblqwnlwevbli(胡言乱语ing)。

一顿奔波终于搞定了所有准备事项。

下来发现五辆车一辆都没开，但是我忘了带伞了。

我这么神速的人上去拿个伞肯定没问题。(立个\(flag\))。

上去拿了伞....

嗯？车子呢？怎么都消失了？

顿时充满了诗情画意：噫！微斯人，吾谁与归？

好在5分钟后又来了一辆车。

到了会场之后......

上午下午连续掉线，我已经濒临绝望了。

整整一天都没有听懂。 好在带了电脑于是自己刷题算了。

上午做\(Qtree6\)，下午做线性基和导弹拦截。 顺带复习了一下\(LCT\)。

2018.3.20 晚上

回到宾馆才\(6:10\)左右。

先把下午没有调出来的题给调了，调了半天发现是卡进度，我 凸(艹皿艹 )。

然后就开始颓了，颓了一会儿接到通知去开会。

谢总的考前动员大会......

一句骚话："难不成你duang的一下进了浙江省队？"

总结来说，就是要放平心态去考，拿稳暴力分，不要丢白痴分。

我觉得太对了。

然而......算了，明天再说。

回去决定复习一下知识点，狂翻之前写的博客\(ing\)....

和\(fdf\)决定早一点睡觉，\(11:00\)好了。

我和\(fdf\)果然在\(11:00\)准时上床，然后聊天硬是聊到了\(11:40\)左右。

聊天内容就是各种骚话，反正大家互奶，各种"ORZ"、"太强了"之类的话满天飞。

2018.3.21 上午

考试，\(ZJOI\)高难度真的不是吹的。

一个大问题是：\(windows\)下我不会对拍...

\(T1\)，考什么线图....部分分\(k=2,3,4,5,6,7,8,9\)。

开始推柿子。

\(k=2、3\)不是傻逼题吗？ 秒了秒了。

\(k=4\)，嗯.....好像是枚举点集就\(OK\)了啊，写了一发过了手造数据就没管了。

\(k=5\)，嗯.....好像是枚举边集然后考虑单独贡献啊，同样过了手造数据That's OK。

\(T2\)，对\(i\)到根的路径进行染色？

树点涂色？ \(Access\)？然而并没有卵用。

感觉是个贪心，想了2个小时硬是没想出来。

事实证明并不是贪心，具体见我下面写的题解。

写暴力10分好了。

结果手造数据发现\(Tle\)了？

原来是用\(set\)结果多了一个\(log\)，改过来就好了，有惊无险。

\(T3\)什么鬼？

样例都玩不出来，弃了弃了。

最后弃疗看看大样例。 嗯？\(T1\)的大样例竟然是\(k=5\)的？

测了一发。 \(WA\)了！\(WA\)了! \(WA\)了!

心顿时凉了。

一看还有15分钟，最后挣扎一下吧。

结果刚改2分钟，电脑突然蓝屏，自动关机，然后叫个不停

电脑居然炸了，绝望ing。

不经历一次你是绝对不知道这种感觉的....\((TeT)\)。

监考老师还是很给力的，不到10分钟就修好了。

重新开机，还剩3分钟。

凉了......

出来后发现还好，大家基本上都是30+10+0，等于说我把自己炸成了平均水平。

2018.3.21 下午+晚上

会宾馆把东西收了准备滚回长沙。

然后上车前往高铁站。

\(ZJOI\)交流群就发了一试题解了，这个效率我服。

\(T1\)考括号序列+树哈希+树上DP，说得好像我会一样的。

\(T2\)考推导、\(Splay\)，嗯，好像还是可以看看的。

\(T3\)考有限状态自动机（DFA），这个，我真的连学都不想学。

这里有一句出题人的原话：

==>有点常识的人，应该都不会去做第三题。

嗯！至少证明了我是有常识的人！(滑稽)

高铁上一直在打摆，颓颓炉石，看看题之类的。

\(ZSY\)不亏是欧气王，在高铁上炉石又开出了一张橙卡！

一路颠簸回到了长沙，坐公交回到郡园的路上睡着了......

睁开眼，又要迎接新的一天\(.....\)(QwQ)

后记

\(ZJOI\)难度很大啊，\(HNOI\)会怎么样呢？

感觉要学的的东西还很多，思维还不够强大。要更加努力了！

Part2 一些题的题解

CF #469 E Binary Cards

题解

显然如果都是偶数那么直接除以2就好了(没有影响)。

否则必须选择\(-1\)或1中的一个。

直接暴力枚举好了。

如果当前数集都为偶数，那么直接全部除以2。

否则枚举选择1或者-1，然后把奇数变成对应的偶数重复进行即可。

CSA #32 G Sum of Powers

题解

分开考虑每一个数的贡献。

我们先预处理出前\(i\)个数，和为\(j\)的方案数，设为\(f[i][j]\)。

那么一个数\(num\)的贡献(次数)为：

\[res_{num} = \sum_{k=0}^∞ [包含至少k个num的方案数]\]

就是整数期望公式的变种，即：

\[res_{num} = \sum_{k=0}^∞ f[i-k][j-num*k]\]

再乘上\(num^m\)即可。时间复杂度为：\(O(n^2)\)

ZJOI2018 T2 History

题解：

首先先考虑一下没有修改如何做。

对于每一个点，我们设其有\(t\)个儿子，儿子序列为\(s_1,s_2,s_3,...s_t\)。

我们设\(p_i\)表示第\(i\)个儿子为根的子树内的\(access\)次数和。

特别的，设\(p_0\)为当前点的\(access\)次数和。

那么，我们可以注意到，对于\(access\)进行序列中相邻的两个操作\(x_e,x_{e+1}\)，

会使得当前点\(i\)不会发生轻重链交换的条件为：

\(x_e\)与\(x_{e+1}\)为同一棵子树 或者 同为\(i\)点 。

所以说，我们把\(i\)点和每一个儿子\(s\)看成一个小球，

那么现在的问题转化为：

有\(t+1\)种小球，第\(i\)种有\(p_i\)个，现在希望把它们排成一列。

试着最大化左右小球的颜色不同的间隔数。

我们可以发现是否可以全部间隔开其只与数量最多的那种小球有关。

设最多的小球个数\(mx = max\{p_i\}\) , 个数和\(sum = \sum p_i , i \in [0,t]\)

除了最多的那种小球外，还剩下\(sum-mx+1\)个小球。它们一共可以制造\(sum-mx+1\)个空隙。

分类讨论一波：

可以全部间隔开：\(sum-mx+1 \ge mx\) , 此时答案为\(sum-1\)

不能够全部隔开：\(sum-mx+1 < mx\) , 此时答案为\(2(sum-mx)\)

综上所述，\(ans_i = max\{sum-1 , 2(sum-mx)\}\)

即当\(2mx > sum+1\)时，答案为\(2(sum-mx)\)，否则为\(sum-1\)。

所以我们就可以\(O(n)\)的求解不带修改的最大值了。

然后考虑修改。

令\(f_i\)表示以\(i\)为根的字数内的\(access\)次数，对于一条边\((son,fa)\)，

若$2f_{son} > f_{fa} + 1 $ , 那么称\(son\)为实儿子，否则称其为虚儿子。

实儿子与虚儿子分别对应了\(ans_{fa}\)的一种计算公式(见上)。

可以发现每一个\(fa\)最多只会有一个实儿子，因为\(2f_{实} > f_{fa} + 1\)。

所以说实儿子在树上形成了链。

我们只需要维护每个点的\(f_i\)和其实儿子即可(维护了实儿子也就维护了答案)。

其实更加简单的说就是维护\(f_{son}\)最大的那个儿子。

考虑修改，修改\(i\)点只会影响\(i\)到父亲的路径上的点。

对于实儿子，显然没有影响，因为它仍然是实儿子，而且\(2(f_{fa}-f_{实})\)不变。

所以只用管虚儿子了。

一个结论：虚儿子的个数不会超过\(log(\sum a_i)\)。

因为虚儿子满足\(f_{fa} >2f_{虚}\) ， 而\(f_1 = \sum a_i\)。

所以找到所有虚儿子，然后暴力枚举再修改即可。这个显然可以在线段树上二分。

梳理一遍修改步骤：

在线段树上二分找到所有的虚儿子

枚举找到的虚儿子，看看是否需要修改其虚实关系。

如果需要，修改答案，并且把原来的实儿子存入一个修改队列。

把被修改的原先实儿子改成虚儿子。

修改\(i\)到根路径上所有点的\(f_e\)值。

每一个操作的复杂度为\(O(log^2n)\) ， 总的复杂度为\(O(nlog^2n)\)。

还有一种\(LCT\)的方法，复杂度为\(O(nlogn)\) ， 但是我还不会，会了再说。