最大间隔问题

问题描述

给定n个实数x1, x2, x3, … , xn, 求这n个数在实轴上相邻2个数之间的最大间隔。假设对任何实数取整耗时O(1), 设计解最大间隙问题的线性时间算法。

算法设计

对于给定的n个实数x1, x2, x3, … , xn, 计算它们的最大间隙。

数据输入

输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供，文件的第1行有1一个正整数n, 接下来1行中有n个实数x1, x2, x3, … , xn。

数据输出

将找到的最大间隔输出到文件output.txt

样例

输入：

5

2.3 3.1 7.5 1.5 6.3

输出：

3.2

算法实现分析

本问题可以运用鸽巢原理进行解答。其具体实现步骤如下：

找出n个实数中的最大值n_max 和 最小值n_min

申请n+1个盘子，并记录每一个盘子中的元素个数、上下界

将[n_min, n_max]划分成n-1个等长区间，第一个盘子只放最小值，最后一个盘子只放最大值，剩余n-1个盘子用来存放n-2个数。很明显，必然至少有一个盘子没有存放任何数。因此，最大间隔存在于空盘子的两侧。

线性查找出最大间隔。

实现代码

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstring>
#include <math.h>

using namespace std;

#define infilePath "./input.txt"
#define outFilePath "./output.txt"

int main(int argc, char**argv)
{
int Nums;
float n_max;
float n_min;

ifstream infile;
ofstream outfile;

infile.open(infilePath, ios::in);
outfile.open(outFilePath, ios::out);

if (!infile.is_open())
cout << "open file failure" << endl;
if (!outfile.is_open())
cout << "open file failure" << endl;

while (infile >> Nums)
{
float * number = new float[Nums];
float maxInterval = 0;

//读入数据 并 找到最大值和最小值
for (int i = 0; i < Nums; i++)
{
infile >> number[i];

if (i == 0)
{
n_max = number[0];
n_min = number[0];
continue;
}

if (number[i]>n_max)
{
n_max = number[i];
}
if (number[i] < n_min)
{
n_min = number[i];
}
}

//申请记录每一个盘子的元素个数和其上下界 第一个盘子 只放最小值 最后一个盘子只放最大值
int* count = new int[Nums + 1];
float* upperBound = new float[Nums + 1];
float* lowerBound = new float[Nums + 1];

for (int i = 1; i < Nums; i++)
{
count[i] = 0;
upperBound[i] = n_min;
lowerBound[i] = n_max;
}

count[0] = 1;
count[Nums] = 1;
upperBound[0] = n_min;
lowerBound[0] = n_min;
upperBound[Nums] = n_max;
lowerBound[Nums] = n_max;

//将n-2个数放入 n-1个盘子中
for (int i = 0; i < Nums; i++)
{
if (number[i] == n_max || number[i] == n_min) continue;

int index = floor((number[i] - n_min)*(Nums - 1) / (n_max - n_min)) + 1;   // 下标取值范围 1 到 n-1

if (number[i]>upperBound[index])
{
upperBound[index] = number[i];
}
if (number[i] < lowerBound[index])
{
lowerBound[index] = number[i];
}
count[index] ++;
}

//线性查找最大间隔 存在于count=0 的两侧
for (int i = 1; i < Nums; i++)
{
int tmp;
float gap;
if (count[i]>0)
continue;
else
{
tmp = i;
while (!count[i])
i++;
gap = lowerBound[i] - upperBound[tmp - 1];
}
if (gap > maxInterval)
maxInterval = gap;
}

//输出结果
outfile << maxInterval<< endl;
}

//关闭文件
infile.close();
outfile.close();
}

测试结果

输入：

5

5.1 5.2 5.3 5.39 5.9

5

2.3 3.1 7.5 1.5 6.3

3

1.08 1.090 1.80

输出：

0.51

3.2

0.71