陶哲轩实分析8.5.10 良序集上的强数学归纳法证明 试解答

实分析一书中在8.5.10中给出了强归纳法假定，此假定的作用真的太大。因为良序集真的是无处不在，因此这个定理的可使用范围非常之广。我在做这道证明题时也遇到了很大的麻烦，想要偷懒看一看网上各路大佬的解答方法。很可惜，翻遍内网外网，却没有找到任何解答。也许这是块硬骨头，或许各位大佬觉得步骤繁琐没有上传。在此我给出一个试解：这一个解个人认为没有运用选择公理，或者无意中使用了选择公理，还请大家指出：
Y := {n ∈ X : P (m) is false for some m ∈ X with m ≤ n}
如果集合Y为空集，那么我们可以得出对于任意n隶属于集合X，p（n）都成立，也就是说强数学归纳法得以证明。
因此我们使用反证法，假设Y不是空集，寻找矛盾
如果Y不是空集 
∃ n0∈X,使得P (m)为假对于某些m ∈ X with m ≤ n0
(因为强归纳的假设，如果∀m m＜n0：p（m）为真→p（n0）为真）

如果p（n0）为假，那证明∃n＜n0使得 p（n）为假
如果p（n0）为真，那么∃n＜n0使得 p（n）为假

因此 集合S1={P (m)为假：m ∈ X with m ＜ n0}不是空集
又因为良序集性质 ∃n1=min S1
又因为n1为假，根据同样的原理
S2={P (m)为假：m ∈ X with m ＜ n1}不是空集
∃n2=min S2

我们可以重复运用这种方式定义数列
n0,n1,n2,n3,.........,nq,..........（q为下标）

接下来我们来探讨序列nq的无穷性
我们假设nq序列是有限的，且停止在q
那么Sq+1集合必须为空集及
Sq+1={P (m)为假：m ∈ X with m ＜ nq}
如果nq≠minX，则根据之前序列的构建法则，Sq+1不为空集
因此使得Sq+1为空集的唯一情况是nq＝minX
然而根据强归纳的假设
对于任意m隶属于X，如果m小于n,都有p（m）是正确的的话，那么p（n）也是正确的
当n=minX时，任意m隶属于X，如果m小于minX,都有p（m）命题为真，因为不存在m隶属于X且小于minX，因此前提为空虚正确，因此p（minX）为真。与nq序列为有限个所得出的p（minX）为假矛盾，因此nq序列为无穷个

当nq序列为无穷个时
n0，n1，n2，n3.......nq..........
由无穷序列nq组成的集合：{q ∈ 自然数 : nq}不存在最小值
对于任意的q∈自然数，nq+1＜nq
因此min{q ∈ 自然数 : nq}不存在
可是X为良序集，对于任意X的子集都有最小值，所以
nq序列不能为无穷序列

综上nq序列既不能为有限序列，也不能为无穷序列
因此nq序列不存在
因此n0不存在
所以集合Y为空集
证明完毕