70. Climbing Stairs（爬楼梯）

一、题意

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

Example 1:

Input: 2
Output:  2
Explanation:  There are two ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step
2. 2 steps
Example 2:

Input: 3
Output:  3
Explanation:  There are three ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step

二、分析和解答

1、爬上n个台阶总共需要的ways = 爬上n-1个台阶总需的ways（再爬一阶） + 爬上n-2个台阶总需的ways（再爬两阶） 。

所以递推式就得到了：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。n肯定得大于0的，所以前面的0，1，2必须拿出来单溜！

int climb(int n){
if(n == 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
if(n == 2)
return 2;
return climb(n-1) + climb(n-2);
}
public int climbStairs(int n) {
return climb(n);
}

更简洁一些：

public int climbStairs(int n) {
if(n == 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
if(n == 2)
return 2;

return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
}

提交后发现，时间超时！从代码可以看到，每一个递归里面有两个子递归，最后导致整个函数的时间复杂度达到了2^n左右。

2、优化

同样，只需要把前面已经得出来的数据记录下来，就节约了大量的资源。

public int climbStairs(int n) {
if(n == 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
if(n == 2)
return 2;
int a = 1;//爬1阶所需的ways
int b = 2;//爬2阶所需的ways
int i = 3;
int res = 0;//当前的阶数
while(i <= n){
res = a + b;//爬i-2阶的ways + 爬i-1阶的ways
a = b;
b = res;
i++;
}

return res;
}