棋盘覆盖问题

在一个2^k×2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
问题: 用4种不同形态的L型骨牌, 覆盖给定特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个不得重叠。
1 : 代码求解#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX = 100;
int board[MAX][MAX] = {0};
int number = 0;
void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
if (size == 1) return;
int t = (++number); //L型骨牌号
int s = size / 2; //分割棋盘
//覆盖左上角子棋盘
if (dr < tr + s && dc < tc + s)
ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s); //特殊方格在此棋盘中
else //此棋盘中无特殊方格
{
//用 t 号L型骨牌覆盖右下角
board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
//覆盖其余方格
ChessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
}
//覆盖右上角子棋盘
if (dr < tr + s && dc >= tc + s)
// 特殊方格在此棋盘中
ChessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
else // 此棋盘中无特殊方格
{
// 用 t 号L型骨牌覆盖左下角
board[tr + s - 1][tc + s] = t;
// 覆盖其余方格
ChessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
}
// 覆盖左下角子棋盘
if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
// 特殊方格在此棋盘中
ChessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
else // 用 t 号L型骨牌覆盖右上角
{
board[tr + s][tc + s - 1] = t;
// 覆盖其余方格
ChessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s -1, s);
}
// 覆盖右下角子棋盘
if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
// 特殊方格在此棋盘中
ChessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
else // 用 t 号L型骨牌覆盖左上角
{
board[tr + s][tc + s] = t;
// 覆盖其余方格
ChessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
}
}
int main()
{
int dr, dc, size;
cin >> dr >> dc >> size;
board[dr][dc] = 0;
ChessBoard(0, 0, dr, dc, size);
for(int i = 0 ; i < size; ++i)
{
for(int j = 0; j < size; ++j)
{
cout << board[i][j] << "";
}
cout << endl;
}
}
2 ： 时间复杂度分析
首先根据公式

；
此题中规模为K（大写）， 则分解成四个子问题， 即 k（小写） = 4；每个子问题规模为 K - 1, 每个子问题的复杂度为O（1），
则得到

；
        下面进行迭代求解：
        T(K) = 4T(K - 1) + O(1)    K > 0;
                = 4(4T(K - 2) + O(1)) + O(1）
                = 4 ^ 2 T(K - 2) + 4 ^ 1 O(1) + O(1);
                ......
                 = 4 ^ K T(K - K) + 4 ^ (K - 1)  +  4 ^ (K - 2) + ... + 1
                 = 4 ^ K T(0) +  4 ^ (K - 1)  +  4 ^ (K - 2) + ... + 1
                = O(4 ^ K);